La diagonal de un rectángulo
Una diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos. El largo y el ancho son los catetos y la diagonal es la hipotenusa. Por eso el teorema de Pitágoras, que se estudia en 2.º de la ESO, da directamente: diagonal = √(largo² + ancho²). Sirve para comprobar si un marco o una solera están a escuadra, conocer el tamaño de una pantalla o saber si un mueble pasará por una puerta.
Las fórmulas
- Diagonal: d = √(L² + A²)
- Cuadrado: d = lado × √2 ≈ lado × 1,414
- Ángulo entre la diagonal y el largo: arctan(A ÷ L)
- Área = L × A y perímetro = 2 × (L + A)
- Los cuatro vértices están sobre una circunferencia cuyo diámetro es la diagonal.
Ejemplo resuelto: un rectángulo de 8 × 6
- Diagonal: √(64 + 36) = √100 = 10.
- Ángulo con el largo: arctan(6 ÷ 8) = 36,87°.
- Área: 48; perímetro: 28; proporción: 8 ÷ 6 = 1,333, el formato 4:3.
La regla del 3-4-5 para trazar ángulos rectos
Albañiles y carpinteros usan este triángulo para marcar un ángulo recto sin escuadra. Mide 3 unidades en un lado y 4 en el otro: si el ángulo es recto, las dos marcas quedan exactamente a 5. En obra se usan 60, 80 y 100 cm, o 3, 4 y 5 m para replantear una cimentación. En un rectángulo terminado, las dos diagonales deben medir lo mismo; si no, la figura es un paralelogramo y no un rectángulo.
Diagonal según el largo (ancho 6)
| Largo | Diagonal | Ángulo |
|---|---|---|
| 3 | 6,71 | 63,43° |
| 4 | 7,21 | 56,31° |
| 6 | 8,49 | 45,00° |
| 8 | 10,00 | 36,87° |
| 12 | 13,42 | 26,57° |
| 16 | 17,09 | 20,56° |
Usos habituales
- Pantallas: el tamaño de un televisor se expresa en pulgadas de diagonal (1 pulgada = 2,54 cm). Uno de 55 pulgadas mide 139,7 cm de diagonal; en formato 16:9, son 121,8 cm de ancho y 68,5 cm de alto.
- Mudanzas: una puerta de 82,5 × 203 cm, un tamaño habitual en España, tiene una diagonal de 219,1 cm. Es el tablero más largo que pasa inclinándolo.
- Papel: un folio A4 de 21 × 29,7 cm tiene una diagonal de 36,4 cm. Su proporción es √2, por eso al doblarlo por la mitad conserva la forma: del A3 al A4 y del A4 al A5.
- Azulejos: cortar un azulejo cuadrado en diagonal da dos triángulos cuyo lado mayor mide el lado × 1,414.
Errores frecuentes
- Sumar el largo y el ancho en lugar de sus cuadrados: la diagonal de 8 × 6 es 10, no 14.
- Mezclar unidades: pasa todo a centímetros o a metros antes de calcular.
- Olvidar la raíz cuadrada al final: 64 + 36 = 100 es el cuadrado de la diagonal, no la diagonal.