Le plus court chemin vers une droite
La distance d’un point à une droite se mesure toujours sur la perpendiculaire : tout autre chemin vers la droite est plus long. Cette idée simple, au programme de seconde et de première, sert aussi en topographie, en infographie, en robotique et en statistique.
La formule
Pour une droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0 et un point (x₀, y₀) :
d = |ax₀ + by₀ + c| ÷ √(a² + b²)
Le numérateur mesure à quel point le point s’écarte de l’équation de la droite ; le dénominateur, qui est la norme du vecteur normal (a, b), le ramène à une vraie distance. Le signe de ax₀ + by₀ + c, avant la valeur absolue, indique de quel côté de la droite se trouve le point.
Le projeté orthogonal
Le point de la droite le plus proche, appelé projeté orthogonal, a pour coordonnées :
- x = x₀ − a·t
- y = y₀ − b·t
avec t = (ax₀ + by₀ + c) ÷ (a² + b²).
Droite définie par deux points
Quand la droite passe par (x₁, y₁) et (x₂, y₂), ses coefficients valent a = y₂ − y₁, b = x₁ − x₂ et c = x₂y₁ − x₁y₂. Le calculateur fait la conversion et donne aussi la distance au segment : si le projeté tombe au-delà d’une extrémité, le point le plus proche du segment est cette extrémité.
Exemple
Calculons la distance du point (5, 5) à la droite 3x + 4y − 10 = 0.
- Numérateur : |3 × 5 + 4 × 5 − 10| = 25.
- Dénominateur : √(9 + 16) = 5.
- Distance : 5.
- t = 25 ÷ 25 = 1, donc le projeté orthogonal est (5 − 3, 5 − 4) = (2, 1).
Vérification : (2, 1) vérifie 3 × 2 + 4 × 1 − 10 = 0, et la distance de (5, 5) à (2, 1) vaut √(9 + 16) = 5.
Applications
- Topographie et cadastre : la distance d’un point à une limite de propriété ou à l’axe d’une route.
- Infographie et jeux vidéo : détecter le contact d’un objet avec un mur, ou sélectionner la ligne la plus proche d’un clic.
- Statistique : la régression orthogonale minimise les distances perpendiculaires des points à la droite, contrairement aux moindres carrés ordinaires, qui utilisent les écarts verticaux.
- Navigation : l’écart latéral d’un navire ou d’un avion par rapport à sa route prévue, sur de courtes distances où la courbure de la Terre est négligeable.
Cas particuliers
Si le point appartient à la droite, la distance est nulle. Si a et b sont tous deux nuls, ou si les deux points sont confondus, il n’y a pas de droite, et le calculateur affiche un avertissement.