Mesurer la dispersion d’une série
Deux classes peuvent avoir la même moyenne et des profils très différents : des notes de 11, 12 et 13 et des notes de 4, 12 et 20 ont toutes deux 12 de moyenne, mais la seconde série est bien plus dispersée. L’écart type mesure cette dispersion. Ce calculateur donne la variance et l’écart type, pour une population ou un échantillon, ainsi que le coefficient de variation et l’erreur type, pour huit valeurs au plus.
Les formules
- Moyenne : x̄ = somme des valeurs ÷ n.
- Somme des carrés des écarts : SCE = Σ(xᵢ − x̄)².
- Variance de la population : V = SCE ÷ n, et écart type σ = √V.
- Variance de l’échantillon : s² = SCE ÷ (n − 1), et écart type corrigé s = √s².
- Coefficient de variation = s ÷ x̄. Erreur type = s ÷ √n.
Au lycée, on divise par n : c’est la convention des programmes et des calculatrices en mode statistique, notée σx. Le calcul avec n − 1 sert en statistique inférentielle, dans le supérieur.
Exemple chiffré : huit notes sur 20
Les notes sont 8, 12, 10, 14, 16, 12, 9 et 15.
- Moyenne : 96 ÷ 8 = 12.
- Écarts à la moyenne : −4, 0, −2, 2, 4, 0, −3, 3. Leurs carrés : 16, 0, 4, 4, 16, 0, 9, 9, soit une somme de 58.
- Variance : 58 ÷ 8 = 7,25, donc σ = 2,69.
- Avec n − 1 : 58 ÷ 7 = 8,29, donc s = 2,88.
- Coefficient de variation : 2,88 ÷ 12 = 23,99 %. Erreur type : 2,88 ÷ √8 = 1,02.
Effet de la dernière note sur la dispersion
| Dernière note | Moyenne | σ | s |
|---|---|---|---|
| 12 | 11,63 | 2,45 | 2,62 |
| 15 | 12,00 | 2,69 | 2,88 |
| 20 | 12,63 | 3,71 | 3,96 |
| 30 | 13,88 | 6,57 | 7,02 |
Une seule valeur aberrante, comme une note de 30 saisie par erreur à la place de 3,0, peut multiplier l’écart type par plus de deux. Regardez toujours les données avant de commenter les indicateurs.
Population ou échantillon ?
Divisez par n quand les valeurs constituent toute la population étudiée : les notes de toute la classe, les températures de tous les jours d’un mois. Divisez par n − 1 quand elles forment un échantillon destiné à estimer une population plus large : huit paquets pesés au hasard sur une chaîne de production. Cette correction, dite de Bessel, compense le fait que les valeurs d’un échantillon sont plus proches de leur propre moyenne que de la vraie moyenne de la population. Dans un tableur, ECARTYPE.P correspond à σ et ECARTYPE.STANDARD à s.
Interpréter l’écart type
Pour une série dont la distribution a une forme de cloche, environ 68 % des valeurs se situent à moins d’un écart type de la moyenne, 95 % à moins de deux et 99,7 % à moins de trois. Si une classe a 12 de moyenne avec un écart type de 3, environ deux tiers des élèves ont entre 9 et 15.
Le coefficient de variation permet de comparer des séries d’ordres de grandeur différents : un écart type de 2 € sur un prix moyen de 10 € (20 %) est relativement bien plus important qu’un écart type de 50 € sur 1 000 € (5 %).
Écart type et erreur type
L’écart type décrit la dispersion des valeurs individuelles. L’erreur type mesure la précision de la moyenne d’un échantillon comme estimation de la moyenne de la population : elle diminue quand l’échantillon grandit, et quadrupler la taille de l’échantillon la divise par deux. Les marges d’erreur des sondages, environ deux erreurs types pour un niveau de confiance de 95 %, en découlent directement.