Dénombrer et calculer des probabilités
Combien de grilles différentes peut-on jouer au Loto ? Quelles sont vraiment les chances de remporter le gros lot ? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un six en quatre lancers de dé ? Ces questions reposent sur le dénombrement, au programme de terminale, et sur quelques règles de probabilité vues dès la troisième. Ce calculateur fait les calculs, y compris avec des nombres bien trop grands pour être calculés à la main.
Les formules
- Combinaisons, sans ordre ni répétition : C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!), aussi notée « k parmi n ».
- Arrangements, avec ordre : A(n, k) = n! ÷ (n − k)!.
- Combinaisons avec répétition : C(n + k − 1, k).
- Chances au loto : C(n, k) × nombre d’issues du tirage complémentaire.
- Au moins une fois en t essais indépendants : 1 − (1 − p)ᵗ.
- À chaque fois : pᵗ. Nombre moyen d’occurrences : p × t, l’espérance d’une loi binomiale.
Le point d’exclamation désigne la factorielle : 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Exemple chiffré : le Loto
Une grille de Loto comporte 5 numéros parmi 49 et un numéro chance parmi 10.
- Numéros : C(49, 5) = 49 × 48 × 47 × 46 × 45 ÷ 120 = 1 906 884 combinaisons.
- Avec le numéro chance : 1 906 884 × 10 = 19 068 840.
- Une grille a donc une chance sur 19 068 840 de remporter le premier rang. En jouant 3 grilles par semaine pendant 50 ans, soit 7 800 grilles, la probabilité de gagner une fois reste d’environ 0,04 %.
- Si l’ordre comptait, il y aurait A(49, 5) = 228 826 080 arrangements des cinq numéros, 120 fois plus.
Pour l’EuroMillions, saisissez 50 numéros, 5 choisis et 66 pour le tirage complémentaire, le nombre de paires possibles de 2 étoiles parmi 12 : on obtient 1 chance sur 139 838 160.
Au moins un six en plusieurs lancers
Avec p = 1/6 par lancer :
| Lancers | Au moins un six | Nombre moyen de six |
|---|---|---|
| 1 | 16,67 % | 0,17 |
| 2 | 30,56 % | 0,33 |
| 4 | 51,77 % | 0,67 |
| 6 | 66,51 % | 1,00 |
| 10 | 83,85 % | 1,67 |
| 20 | 97,39 % | 3,33 |
Au XVIIe siècle, le chevalier de Méré pariait qu’il obtiendrait au moins un six en quatre lancers, et gagnait plus souvent qu’il ne perdait : 51,77 % de chances. Il perdait en revanche en pariant sur au moins un double six en 24 lancers de deux dés, dont la probabilité n’est que de 49,14 %. Sa question à Blaise Pascal a lancé le calcul des probabilités moderne.
Combinaison ou arrangement ?
Demandez-vous si l’ordre change le résultat. Une grille de loto, une main de cartes ou une délégation de trois élèves sont des combinaisons : les mêmes éléments dans un autre ordre donnent le même résultat. Un podium, un code de carte bancaire ou un ordre de passage sont des arrangements. Élire un président, un vice-président et un trésorier parmi 10 personnes donne A(10, 3) = 720 possibilités, contre C(10, 3) = 120 pour former un simple bureau de trois membres.
D’autres exemples
- Jeu de 32 cartes : C(32, 5) = 201 376 mains de cinq cartes, et C(52, 5) = 2 598 960 avec un jeu de 52 cartes.
- Code à 4 chiffres : 10⁴ = 10 000 possibilités, puisque les chiffres peuvent se répéter.
- Glaces : choisir 3 boules parmi 10 parfums, avec répétition possible, donne C(12, 3) = 220 combinaisons.
Le hasard n’a pas de mémoire
Des tirages indépendants ne s’influencent pas : après dix « pile » de suite, le lancer suivant a toujours une chance sur deux de donner « face », et un numéro qui n’est pas sorti depuis des mois n’a pas plus de chances de sortir au prochain tirage. C’est précisément cette indépendance qui justifie la formule « au moins une fois ».