Une sphère étirée
Un ellipsoïde est ce que l’on obtient en étirant ou en aplatissant une sphère selon ses axes. Les œufs, les ballons de rugby, la Terre, les planètes, beaucoup de fruits et d’organes, ou encore les fonds bombés des réservoirs ont des formes proches de l’ellipsoïde. Trois demi-axes a, b et c, mesurés du centre vers la surface dans trois directions perpendiculaires, le décrivent entièrement.
Les types d’ellipsoïdes
- Sphère : a = b = c.
- Sphéroïde allongé : deux axes courts égaux et un axe long, comme un ballon de rugby ou un grain de riz.
- Sphéroïde aplati : deux axes longs égaux et un axe court, comme la Terre ou une lentille.
- Ellipsoïde quelconque (triaxial) : trois axes différents, comme beaucoup de galets.
Le volume
V = 4/3 × π × a × b × c
Cette formule est exacte. Pour une sphère, on retrouve 4/3 × π × r³. Si l’on mesure les longueurs entières plutôt que les demi-axes, on utilise V = π/6 × D₁ × D₂ × D₃, soit environ 0,52 fois le produit des trois diamètres. Les radiologues emploient cette formule pour estimer en échographie ou au scanner le volume de la prostate, des lobes thyroïdiens, de la vessie ou d’une tumeur.
L’aire
Il n’existe pas de formule exacte simple pour l’aire d’un ellipsoïde quelconque. Une très bonne approximation, publiée par Knud Thomsen, est :
S ≈ 4π × ((aᵖbᵖ + aᵖcᵖ + bᵖcᵖ) ÷ 3)^(1/p), avec p = 1,6075
Son erreur ne dépasse pas environ 1,06 %, et elle est bien plus faible pour les formes proches de la sphère.
Exemple
Un ellipsoïde de demi-axes 5, 4 et 3 :
- Volume = 4/3 × π × 5 × 4 × 3 = 251,3 unités cubes
- Aire ≈ 199,5 unités carrées
- Une sphère de même volume aurait un rayon de (5 × 4 × 3)^(1/3) = 3,91
La Terre, un ellipsoïde
La Terre tourne sur elle-même et se renfle à l’équateur. L’ellipsoïde de référence WGS 84 utilisé par le GPS a un rayon équatorial de 6 378,137 km et un rayon polaire de 6 356,752 km, soit un aplatissement d’environ 1/298. En France, le système géodésique officiel RGF93 s’appuie sur un ellipsoïde presque identique, l’IAG GRS 80. Utiliser un ellipsoïde plutôt qu’une sphère modifie les calculs de distance de 0,5 % au plus.
Conseils
- Saisissez les trois demi-axes dans la même unité : le volume sort dans cette unité au cube, l’aire au carré.
- Pour estimer la contenance d’un récipient, mesurez les dimensions intérieures ; 1 litre vaut 1 000 cm³.
- Pour un demi-ellipsoïde, comme un dôme ou un fond de cuve, divisez le volume par deux.