Qu’est-ce qu’un nombre complexe
Un nombre complexe s’écrit z = a + ib, avec une partie réelle a et une partie imaginaire b, où i est l’unité imaginaire définie par i² = −1. Les nombres complexes permettent à toute équation polynomiale d’avoir des solutions ; ils sont indispensables en électricité, en traitement du signal, en mécanique quantique et en mécanique des fluides. Ce calculateur effectue les quatre opérations et donne le module et l’argument du résultat.
Les opérations
- Addition : (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
- Soustraction : (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d)
- Multiplication : (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- Division : (a + ib) ÷ (c + id) = [(ac + bd) + i(bc − ad)] ÷ (c² + d²)
- Module : |z| = √(a² + b²)
- Argument : l’angle de z avec l’axe des réels positifs, entre −180° et 180°
Exemple chiffré
Multiplions z₁ = 3 + 4i par z₂ = 1 − 2i.
- Partie réelle : 3 × 1 − 4 × (−2) = 3 + 8 = 11.
- Partie imaginaire : 3 × (−2) + 4 × 1 = −6 + 4 = −2.
- Résultat : 11 − 2i, de module √125 = 11,18 et d’argument −10,30°.
- Vérification : |z₁| × |z₂| = 5 × 2,236 = 11,18. Les modules se multiplient et les arguments s’additionnent : 53,13° + (−63,43°) = −10,30°.
La division donne (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) = −1 + 2i.
Forme trigonométrique et exponentielle
Tout nombre complexe s’écrit aussi z = r(cos θ + i sin θ) = r e^(iθ), où r est le module et θ l’argument. Sous cette forme, multiplier revient à multiplier les modules et additionner les arguments, diviser à diviser les modules et soustraire les arguments. Le calculateur de coordonnées polaires permet de passer d’une forme à l’autre.
Puissances de i
| Puissance | Valeur |
|---|---|
| i¹ | i |
| i² | −1 |
| i³ | −i |
| i⁴ | 1 |
Le cycle se répète toutes les quatre puissances : i¹⁰ = i² = −1.
Où on les utilise
- Électricité : les impédances des résistances, condensateurs et bobines se combinent comme des nombres complexes, ce qui simplifie l’étude des circuits en courant alternatif. Les électriciens notent j au lieu de i pour éviter la confusion avec l’intensité.
- Équations : x² + 1 = 0 a pour solutions i et −i ; une équation du second degré a deux racines complexes conjuguées quand le discriminant est négatif.
- Signaux : la transformée de Fourier décrit sons et images comme des sommes d’exponentielles complexes.
- Fractales : l’ensemble de Mandelbrot se dessine en élevant des nombres complexes au carré de façon répétée.
Le conjugué
Le conjugué de a + ib est a − ib. Un nombre multiplié par son conjugué donne un réel, a² + b² : c’est l’astuce utilisée pour diviser deux nombres complexes.