Calculer avec des fractions
Les fractions apparaissent dès l’école primaire et restent omniprésentes au collège : additions, simplifications, divisions, puis probabilités et équations. Chaque opération suit des règles simples, mais l’enchaînement des étapes, mise au même dénominateur, calcul, simplification, laisse de la place aux erreurs. Ce calculateur effectue les quatre opérations, donne la fraction irréductible, le nombre mixte, la valeur décimale et le pourcentage.
Les règles
- Addition : a/b + c/d = (a × d + c × b) ÷ (b × d).
- Soustraction : a/b − c/d = (a × d − c × b) ÷ (b × d).
- Multiplication : a/b × c/d = (a × c) ÷ (b × d).
- Division : a/b ÷ c/d = a/b × d/c, on multiplie par l’inverse.
- Simplification : on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, le plus grand diviseur commun.
Exemple chiffré : 5/6 − 1/4
- Produits en croix : 5 × 4 − 1 × 6 = 20 − 6 = 14.
- Produit des dénominateurs : 6 × 4 = 24. Résultat brut : 14/24.
- Le PGCD de 14 et 24 vaut 2 : la fraction irréductible est 7/12.
- Valeur décimale : 0,5833, soit 58,33 %.
Avec le plus petit dénominateur commun, 12, les nombres restent plus petits : 10/12 − 3/12 = 7/12.
5/6 − 1/d pour d’autres dénominateurs
| Calcul | Résultat | Valeur décimale |
|---|---|---|
| 5/6 − 1/2 | 1/3 | 0,3333 |
| 5/6 − 1/3 | 1/2 | 0,5000 |
| 5/6 − 1/4 | 7/12 | 0,5833 |
| 5/6 − 1/6 | 2/3 | 0,6667 |
| 5/6 − 1/8 | 17/24 | 0,7083 |
| 5/6 − 1/12 | 3/4 | 0,7500 |
Trouver le PGCD avec l’algorithme d’Euclide
On divise le plus grand nombre par le plus petit, on garde le reste, et on recommence avec le diviseur et le reste jusqu’à obtenir un reste nul. Pour 14 et 24 : 24 = 1 × 14 + 10, puis 14 = 1 × 10 + 4, puis 10 = 2 × 4 + 2, puis 4 = 2 × 2 + 0. Le dernier reste non nul, 2, est le PGCD. On peut aussi décomposer en facteurs premiers : 14 = 2 × 7 et 24 = 2³ × 3, dont le seul facteur commun est 2.
Nombres mixtes et fractions impropres
Une fraction dont le numérateur dépasse le dénominateur peut s’écrire comme un entier plus une fraction : 19/12 = 1 + 7/12. Pour saisir un nombre mixte comme 2 + 3/8, convertissez-le d’abord : 2 × 8 + 3 = 19, soit 19/8.
Fractions et vie courante
- Recettes : les trois quarts d’une recette pour 8 personnes donnent une recette pour 6.
- Probabilités : la probabilité d’obtenir deux fois pile de suite vaut 1/2 × 1/2 = 1/4.
- Partages : une pizza partagée en huit dont on mange trois parts, il reste 5/8.
- Pourcentages : 3/4 = 75 %, 1/3 ≈ 33,33 %, 1/8 = 12,5 %.
Les signes et les cas impossibles
Le signe moins peut se placer au numérateur ou au dénominateur : −3/4 = 3/(−4). Le calculateur le reporte toujours au numérateur. Un dénominateur nul n’a pas de sens, et on ne peut pas diviser par une fraction nulle : le résultat est alors signalé comme impossible.
Du décimal à la fraction
Pour écrire 0,375 en fraction, on l’écrit sur 1 000 puis on simplifie : 375/1 000 = 3/8. Certaines fractions, comme 1/3 = 0,333…, n’ont pas d’écriture décimale exacte : c’est pourquoi on garde souvent les résultats sous forme de fraction en mathématiques.