Lire entre deux valeurs
Les tables et les graphiques ne donnent des valeurs qu’en certains points : la masse volumique de l’eau à 20 °C et à 30 °C, un taux à deux échéances, une mesure toutes les heures. L’interpolation linéaire estime la valeur intermédiaire en supposant qu’elle varie en ligne droite d’un point connu au suivant. C’est la méthode la plus simple et la plus utilisée pour combler ces trous.
La formule
y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- (x₁ ; y₁) et (x₂ ; y₂) sont les deux points connus,
- x est la valeur pour laquelle on cherche y,
- (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) est la pente de la droite qui passe par les deux points.
Le calculateur indique aussi la position de x entre x₁ et x₂ en pourcentage, et l’équation de la droite.
Exemple chiffré
Une table donne la masse volumique de l’eau : 0,9982 g/cm³ à 20 °C et 0,9957 g/cm³ à 30 °C. Que vaut-elle à 25 °C ?
- Pente = (0,9957 − 0,9982) ÷ (30 − 20) = −0,00025 par °C.
- y = 0,9982 + (25 − 20) × (−0,00025) = 0,99695 g/cm³.
- 25 °C se situe à 50 % de l’intervalle, le résultat est donc exactement à mi-chemin des deux valeurs.
La valeur mesurée à 25 °C est de 0,99705 g/cm³ : l’interpolation ne se trompe que de 0,01 %.
Interpolation ou extrapolation
| Situation | Nom | Fiabilité |
|---|---|---|
| x entre x₁ et x₂ | interpolation | bonne si la courbe est régulière |
| x en dehors des deux points | extrapolation | risquée : la tendance peut changer |
Le calculateur prévient quand x sort de l’intervalle, car prolonger une droite trop loin peut donner des résultats trompeurs.
Les précautions
L’interpolation linéaire suppose une droite : son erreur augmente avec la courbure de la relation réelle et avec l’écart entre les points. Interpoler l’aire d’un disque entre r = 1 et r = 3 pour estimer r = 2 donne 5π au lieu de 4π, soit 25 % d’erreur. Des points plus rapprochés réduisent vite l’erreur.
Usages courants
- Ingénierie : tables de vapeur, propriétés des matériaux, coefficients de pertes de charge.
- Finance : estimer un taux entre deux échéances publiées sur une courbe de taux.
- Sciences : lire une courbe d’étalonnage entre deux étalons.
- Vie courante : estimer la température à midi à partir des relevés de 9 h et de 15 h.
Interpolation à deux entrées
Pour une table à double entrée, comme une propriété qui dépend de la température et de la pression, on interpole d’abord selon une entrée, puis selon l’autre. C’est l’interpolation bilinéaire, qui applique trois fois la même formule.