Une évolution à pourcentage constant
Une grandeur suit une croissance exponentielle quand elle augmente du même pourcentage à chaque période, et non de la même quantité. Une épargne à intérêts composés, une population, le début d’une épidémie ou l’inflation suivent ce schéma. Quand le pourcentage est négatif, la grandeur diminue de la même façon : la décroissance exponentielle décrit la dépréciation d’un bien, la radioactivité ou l’élimination d’un médicament.
Les formules
- Modèle discret : P(t) = P₀ × (1 + r)ᵗ, avec r le taux par période en décimal. C’est une suite géométrique de raison 1 + r.
- Modèle continu : P(t) = P₀ × e^(r × t)
- Temps de doublement : ln(2) ÷ ln(1 + r) en discret, ln(2) ÷ r en continu
- Demi-vie en cas de baisse : ln(2) ÷ |ln(1 + r)|
- Règle de 70 : temps de doublement ≈ 70 ÷ taux en pourcentage. En finance, on cite souvent la règle de 72, un peu plus juste pour des taux de 6 à 10 %.
Exemple : 1 000 qui augmente de 5 % par période
- Après 10 périodes : 1 000 × 1,05¹⁰ = 1 628,89, soit une hausse de 62,89 %.
- Temps de doublement : ln 2 ÷ ln 1,05 = 14,21 périodes.
- La règle de 70 donne 70 ÷ 5 = 14, et celle de 72 donne 14,4 : deux bonnes estimations de tête.
- En croissance continue à 5 %, on obtiendrait 1 000 × e^0,5 = 1 648,72.
Évolution dans le temps à 5 %
| Périodes | Valeur | Variation totale |
|---|---|---|
| 1 | 1 050,00 | 5,00 % |
| 5 | 1 276,28 | 27,63 % |
| 10 | 1 628,89 | 62,89 % |
| 20 | 2 653,30 | 165,33 % |
| 30 | 4 321,94 | 332,19 % |
| 50 | 11 467,40 | 1 046,74 % |
Le gain des dix périodes suivantes (1 024) dépasse de loin celui des dix premières (629). Cette accélération rend la croissance exponentielle si puissante, et si facile à sous-estimer.
Décroissance et demi-vie
Saisissez un taux négatif pour une baisse. Une voiture qui perd 15 % de sa valeur par an en garde 0,85 chaque année : après 5 ans, il reste 0,85⁵ = 44 % du prix, et sa valeur est divisée par deux tous les ln 2 ÷ |ln 0,85| = 4,3 ans. Les éléments radioactifs se décrivent plutôt par leur demi-vie : le carbone 14, utilisé pour la datation, diminue de moitié tous les 5 730 ans.
Discret ou continu ?
Le modèle discret applique le pourcentage une fois par période, comme des intérêts versés chaque année. Le modèle continu capitalise à chaque instant et donne un résultat un peu plus élevé pour le même taux. Le calculateur affiche le taux continu équivalent : 5 % par période équivalent à 4,879 % en continu.
Les limites du modèle
Une croissance réelle reste rarement exponentielle longtemps. Les populations manquent de ressources et les marchés saturent, ce qui donne des courbes en S, dites logistiques. Utilisez les projections exponentielles sur des horizons courts, ou comme borne haute.