Qué es un logaritmo
Un logaritmo responde a la pregunta: «¿a qué potencia hay que elevar la base para obtener este número?». Como 2³ = 8, el logaritmo en base 2 de 8 es 3: log₂(8) = 3. Los logaritmos convierten los productos en sumas y las potencias en productos. Por eso aparecen en los decibelios, la magnitud de los terremotos, el pH, el interés compuesto o el análisis de algoritmos.
Los logaritmos más usados
- Logaritmo neperiano o natural, ln(x): base e ≈ 2,71828. Se estudia en Bachillerato y se usa para el crecimiento, el decrecimiento y el cálculo.
- Logaritmo decimal, log(x): base 10. Sirve para órdenes de magnitud, decibelios y pH. En los libros de texto españoles, «log» sin base es este logaritmo.
- Logaritmo binario, log₂(x): base 2. Se usa en informática y teoría de la información.
Cualquier otra base se calcula con la fórmula del cambio de base: log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b).
Ejemplo resuelto: x = 8 en base 2
- log₂(8) = 3, porque 2³ = 8.
- ln(8) = 2,079442.
- log(8) = 0,903090.
- Comprobación con el cambio de base: 2,079442 ÷ ln(2) = 2,079442 ÷ 0,693147 = 3.
- Las operaciones inversas: 2⁸ = 256, e⁸ ≈ 2980,96 y 10⁸ = 100.000.000.
Propiedades
- ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
- ln(a ÷ b) = ln(a) − ln(b)
- ln(aⁿ) = n × ln(a)
- ln(1) = 0 y ln(e) = 1; del mismo modo, log_b(1) = 0 y log_b(b) = 1.
- El logaritmo solo existe para números estrictamente positivos, y la base debe ser positiva y distinta de 1.
Estas propiedades permiten resolver ecuaciones exponenciales. Por ejemplo, 3ˣ = 50 se resuelve tomando logaritmos: x = ln(50) ÷ ln(3) ≈ 3,56.
Logaritmos de las potencias de 2
| x | log₂ x | ln x | log x |
|---|---|---|---|
| 0,5 | −1 | −0,693 | −0,301 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0,693 | 0,301 |
| 4 | 2 | 1,386 | 0,602 |
| 16 | 4 | 2,773 | 1,204 |
| 32 | 5 | 3,466 | 1,505 |
Aplicaciones prácticas
- Calcular un plazo: una inversión al 5 % anual se duplica en ln(2) ÷ ln(1,05) = 14,2 años.
- Decibelios: un sonido 100 veces más intenso suena 10 × log(100) = 20 dB más fuerte.
- pH: pH = −log de la concentración de iones H₃O⁺. Cada unidad de pH equivale a multiplicar o dividir la acidez por 10.
- Terremotos: en la escala de magnitud, cada punto más supone unas 32 veces más energía liberada.
- Informática: una búsqueda binaria en 1.000.000 de elementos ordenados necesita unos log₂(1.000.000) ≈ 20 pasos.
- Volver al número: si log(x) = 2,5, entonces x = 10^2,5 ≈ 316,2.
Errores frecuentes
- Pensar que log(a + b) = log(a) + log(b). No es así: la propiedad vale para el producto, no para la suma.
- Confundir log y ln en la calculadora del móvil o en una hoja de cálculo. En Excel, LOG10 es el decimal, LN el neperiano y LOG(x; b) admite cualquier base.
- Intentar calcular el logaritmo de 0 o de un número negativo: no existe en los números reales.