Une moyenne pour chaque situation
La moyenne habituelle, la moyenne arithmétique, ne convient pas toujours. Quand les valeurs se multiplient, ou quand on moyenne des vitesses ou des taux, la moyenne géométrique ou harmonique donne la bonne réponse.
Les formules
Pour n valeurs positives x₁, …, xₙ :
- Moyenne arithmétique = (x₁ + … + xₙ) ÷ n
- Moyenne géométrique = (x₁ × … × xₙ)^(1/n)
- Moyenne harmonique = n ÷ (1/x₁ + … + 1/xₙ)
- Moyenne quadratique = √[(x₁² + … + xₙ²) ÷ n]
Exemple chiffré
Pour les valeurs 2, 8 et 32 :
- Moyenne arithmétique : (2 + 8 + 32) ÷ 3 = 14.
- Moyenne géométrique : (2 × 8 × 32)^(1/3) = 512^(1/3) = 8.
- Moyenne harmonique : 3 ÷ (0,5 + 0,125 + 0,03125) ≈ 4,57.
- Moyenne quadratique : √[(4 + 64 + 1 024) ÷ 3] ≈ 19,08.
Pour des valeurs positives non toutes égales, l’ordre est toujours le même : harmonique ≤ géométrique ≤ arithmétique ≤ quadratique.
Quand utiliser la moyenne géométrique
Taux d’évolution et rendements. Un placement gagne 50 % une année et perd 50 % la suivante. La moyenne arithmétique des taux vaut 0 %, mais 100 € deviennent 150 € puis 75 € : on a perdu de l’argent. Avec les coefficients multiplicateurs 1,5 et 0,5, la moyenne géométrique vaut √(1,5 × 0,5) ≈ 0,866, soit un taux moyen réel de −13,4 % par an. C’est le taux d’évolution moyen du programme de première : saisissez les coefficients multiplicateurs (1 + taux), pas les taux eux-mêmes, qui peuvent être négatifs.
Autres usages : moyenne de rapports et d’indices, agrégation de notes sur des échelles différentes, calcul de l’indice de développement humain.
Quand utiliser la moyenne harmonique
Vitesses sur des distances égales. Vous parcourez 60 km à 30 km/h puis 60 km à 60 km/h. La vitesse moyenne n’est pas 45 km/h : le trajet dure 2 + 1 = 3 heures pour 120 km, soit 40 km/h, la moyenne harmonique de 30 et 60.
Autres usages : moyenne de PER boursiers pour des montants investis égaux, score F1 en apprentissage automatique, résistances en parallèle.
Quand utiliser la moyenne quadratique
La moyenne quadratique donne plus de poids aux grandes valeurs. On l’utilise pour le courant alternatif (les 230 V du secteur sont une valeur efficace, c’est-à-dire quadratique), pour mesurer les erreurs de prévision et pour les niveaux de bruit.
Limites
Les moyennes géométrique et harmonique demandent des valeurs strictement positives. Une seule valeur nulle annule la moyenne géométrique et rend la moyenne harmonique indéfinie.