La courbe du second degré
La représentation graphique de y = ax² + bx + c, avec a ≠ 0, est une parabole : une courbe symétrique en forme de U, tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Les paraboles décrivent la trajectoire d’un ballon lancé, la forme des câbles d’un pont suspendu sous charge uniforme et le profil des antennes paraboliques.
Éléments caractéristiques
- Sommet : S(α ; β), avec α = −b ÷ (2a) et β = c − b² ÷ (4a)
- Axe de symétrie : la droite verticale x = α
- Distance focale : p = 1 ÷ (4a)
- Foyer : F(α ; β + p)
- Directrice : la droite horizontale y = β − p
- Corde focale : la corde passant par le foyer, de longueur |1 ÷ a| = 4|p|
- Ordonnée à l’origine : c
- Racines : x = (−b ± √Δ) ÷ (2a), avec Δ = b² − 4ac, quand le discriminant n’est pas négatif
On peut aussi écrire la parabole sous forme canonique : y = a(x − α)² + β, comme on l’apprend en classe de première.
Exemple
Pour y = x² − 4x + 3 :
- Sommet : α = 4 ÷ 2 = 2, β = 3 − 16 ÷ 4 = −1
- Axe de symétrie : x = 2
- Distance focale : 1 ÷ 4 = 0,25
- Foyer : (2 ; −0,75) ; directrice : y = −1,25
- Racines : x = 1 et x = 3
- Ordonnée à l’origine : 3
Foyer et directrice
Chaque point d’une parabole est exactement à la même distance du foyer et de la directrice. Cette définition lui donne sa propriété de réflexion : les rayons parallèles à l’axe se réfléchissent tous en passant par le foyer. Les antennes paraboliques et les radiotélescopes concentrent ainsi le signal sur un récepteur placé au foyer, et les phares et les lampes torches font l’inverse, en envoyant la lumière d’une ampoule placée au foyer en un faisceau parallèle. Le four solaire d’Odeillo, dans les Pyrénées-Orientales, en est un exemple spectaculaire.
Astuces
- Plus |a| est grand, plus la parabole est étroite et plus le foyer est proche du sommet.
- Si le discriminant est négatif, la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses : l’équation a des racines complexes.
- Pour trouver la parabole passant par trois points, résolvez le système en a, b et c avec le calculateur de système linéaire.