Les cinq solides de Platon
Un polyèdre régulier convexe, ou solide de Platon, est un solide dont toutes les faces sont des polygones réguliers identiques, avec le même nombre de faces à chaque sommet. Il en existe exactement cinq :
| Solide | Faces | Forme des faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|---|
| Tétraèdre | 4 | Triangle | 6 | 4 |
| Cube | 6 | Carré | 12 | 8 |
| Octaèdre | 8 | Triangle | 12 | 6 |
| Dodécaèdre | 12 | Pentagone | 30 | 20 |
| Icosaèdre | 20 | Triangle | 30 | 12 |
Euclide a démontré qu’il n’en existe pas d’autres : la somme des angles des faces qui se rejoignent en un sommet doit rester inférieure à 360°, ce qui ne laisse que ces cinq combinaisons. Platon les associait aux éléments dans le Timée, d’où leur nom.
Les formules
Pour une arête de longueur a, chaque grandeur est une constante multipliée par une puissance de a :
- Volume : tétraèdre a³ ÷ (6√2), cube a³, octaèdre a³√2 ÷ 3, dodécaèdre (15 + 7√5) ÷ 4 × a³, icosaèdre 5(3 + √5) ÷ 12 × a³.
- Aire totale : tétraèdre √3 a², cube 6a², octaèdre 2√3 a², dodécaèdre 3√(25 + 10√5) a², icosaèdre 5√3 a².
- Le rayon de la sphère circonscrite passe par tous les sommets, celui de la sphère inscrite touche toutes les faces.
- L’angle dièdre est l’angle entre deux faces voisines.
Exemple
Un dodécaèdre de 2 unités d’arête :
- Volume : 61,305 unités cubes
- Aire : 82,583 unités carrées
- Rayon circonscrit : 2,8025, rayon inscrit : 2,2270
- Angle dièdre : 116,57°
- 12 faces, 30 arêtes, 20 sommets
La relation d’Euler
Pour chacun de ces solides, sommets − arêtes + faces = 2. Pour le dodécaèdre : 20 − 30 + 12 = 2. Leonhard Euler a énoncé cette relation en 1758 ; elle vaut pour tout polyèdre convexe et figure au programme de mathématiques du collège et du lycée.
Où les rencontre-t-on ?
- Les dés des jeux de rôle utilisent les cinq formes : D4, D6, D8, D12 et D20.
- Beaucoup de virus ont une capside icosaédrique, et certains cristaux et molécules prennent la forme d’un tétraèdre ou d’un octaèdre, comme le méthane.
- Les dômes géodésiques et le ballon de football classique dérivent de l’icosaèdre.
- Le cube et l’octaèdre sont duaux : relier les centres des faces de l’un donne l’autre. Le dodécaèdre et l’icosaèdre sont duaux aussi, et le tétraèdre est son propre dual.