Les prismes à base régulière
Un prisme droit régulier a deux bases identiques qui sont des polygones réguliers, à côtés et angles égaux, reliées par des faces latérales rectangulaires perpendiculaires aux bases. Le prisme triangulaire, le pavé à base carrée ou le cube, le crayon hexagonal et les alvéoles d’une ruche en sont des exemples.
Les formules
Pour une base à n côtés de longueur a et un prisme de hauteur h :
- Apothème (du centre au milieu d’un côté) : r = a ÷ (2 × tan(180°/n))
- Aire de la base : B = n × a² ÷ (4 × tan(180°/n)) = périmètre × apothème ÷ 2
- Volume : V = B × h
- Aire latérale : n × a × h
- Aire totale : n × a × h + 2B
Exemple
Un prisme hexagonal de côté 2 et de hauteur 5 :
- Apothème : 1,732
- Aire de la base : 6 × 4 ÷ (4 × tan 30°) = 10,392
- Volume : 10,392 × 5 = 51,96
- Aire latérale : 6 × 2 × 5 = 60
- Aire totale : 60 + 2 × 10,392 = 80,78
Les résultats sont dans l’unité des longueurs saisies : au carré pour les aires, au cube pour le volume.
Cas usuels
- Prisme triangulaire (n = 3) : aire de la base = √3 ÷ 4 × a².
- Prisme à base carrée (n = 4) : aire de la base = a² ; avec h = a, c’est un cube.
- Prisme hexagonal (n = 6) : aire de la base = 3√3 ÷ 2 × a², la forme des écrous, des crayons et des orgues basaltiques.
- Quand n augmente, le prisme se rapproche d’un cylindre dont le rayon est l’apothème.
Le principe vaut pour tout prisme : le volume est toujours l’aire de la base multipliée par la hauteur, même pour un prisme oblique, à condition de prendre la hauteur perpendiculaire aux bases.