Un cylindre aux bouts arrondis
Une capsule, ou sphérocylindre, est un cylindre fermé à chaque extrémité par une demi-sphère de même rayon. La forme est partout : gélules de médicaments, citernes de propane et de GPL, bouteilles d’air comprimé, sous-marins, certains silos, et même certaines bactéries comme E. coli.
Les formules
Avec un rayon r et une partie cylindrique droite de longueur a :
- Volume : V = πr²a + (4/3)πr³ = πr²(4r/3 + a)
- Aire : A = 2πra + 4πr² = 2πr(2r + a)
- Longueur totale : a + 2r
Les deux demi-sphères forment ensemble une sphère entière : les formules additionnent donc simplement un cylindre et une sphère. Si l’on connaît la longueur totale L, la partie droite vaut a = L − 2r.
Exemple
Une capsule de rayon 3 et de partie droite 10 (longueur totale 16) :
- Cylindre : π × 9 × 10 = 282,7
- Deux demi-sphères : 4/3 × π × 27 = 113,1
- Volume total : 395,8 unités cubes
- Aire : 2π × 3 × (6 + 10) = 301,6 unités carrées
Applications
- Citernes : avec des longueurs en mètres, multipliez le volume par 1 000 pour l’obtenir en litres. Une citerne de 1 m de diamètre et 2 m de partie droite contient environ 2,1 m³, soit 2 100 litres. Les citernes de gaz ne se remplissent qu’à environ 85 % de leur volume pour laisser place à la dilatation du liquide.
- Peinture et revêtements : l’aire indique la surface à traiter.
- Pharmacie : les tailles de gélules suivent ces formes ; une gélule de taille 0 contient environ 0,68 mL.
Pourquoi des bouts arrondis
Pour un réservoir sous pression, un fond hémisphérique ne subit que la moitié de la contrainte de la partie cylindrique à épaisseur égale, et il n’a pas d’angle où une fissure pourrait s’amorcer. C’est l’une des formes les plus efficaces pour contenir un gaz sous pression. Beaucoup de réservoirs industriels utilisent toutefois des fonds bombés plus plats, dits GRC ou elliptiques, pour gagner en longueur : vérifiez les dimensions réelles avant de calculer un volume de remplissage.
Formes voisines
Quand la partie droite se réduit à zéro, la capsule devient une sphère. Son équivalent plan est l’oblong, ou stade : un rectangle terminé par deux demi-disques, d’aire 2ra + πr².