Les pyramides à base régulière
Une pyramide régulière a pour base un polygone régulier, à côtés et angles égaux, et son sommet se trouve à la verticale du centre de la base. Ses faces latérales sont des triangles isocèles identiques. La pyramide de Khéops, à base carrée, en est l’exemple le plus célèbre, mais les tentes, les toitures en pavillon, les flèches de clocher et certaines pierres taillées ont la même forme.
Les formules
Pour une base à n côtés de longueur a et une pyramide de hauteur h :
- Apothème de la base : r = a ÷ (2 × tan(180°/n))
- Aire de la base : B = n × a² ÷ (4 × tan(180°/n))
- Volume : V = B × h ÷ 3
- Apothème de la pyramide, du sommet au milieu d’un côté de la base : l = √(h² + r²)
- Aire latérale : n × a × l ÷ 2
- Aire totale : aire latérale + B
- Arête latérale, du sommet à un coin de la base : √(h² + R²), où R = a ÷ (2 × sin(180°/n)) est le rayon du cercle circonscrit à la base
Exemple
Une pyramide à base carrée de côté 6 et de hauteur 4 :
- Aire de la base : 36, apothème de la base 3
- Volume : 36 × 4 ÷ 3 = 48
- Apothème de la pyramide : √(4² + 3²) = 5
- Aire latérale : 4 × 6 × 5 ÷ 2 = 60
- Aire totale : 96
- Arête latérale : 5,83, et chaque face est inclinée de 53,1° sur la base
Les résultats sont dans l’unité des longueurs saisies : au carré pour les aires, au cube pour le volume.
La règle du tiers
Une pyramide contient exactement le tiers du prisme de même base et de même hauteur. Trois pyramides obliques identiques à base carrée, chacune avec son sommet au-dessus d’un coin de sa base, s’assemblent même en un cube. La règle vaut pour toute pyramide et pour le cône, dont le volume est πr²h ÷ 3.
Khéops pour l’échelle
La grande pyramide de Gizeh mesurait à l’origine environ 230 m de côté et 147 m de hauteur. Ses faces sont inclinées d’environ 52° et son volume atteignait près de 2,6 millions de mètres cubes.