Qu’est-ce qu’une racine
La racine carrée d’un nombre positif x est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne x : √49 = 7 car 7 × 7 = 49. Plus généralement, la racine n-ième de x est le nombre qui, élevé à la puissance n, donne x. La racine cubique de 27 vaut 3, car 3 × 3 × 3 = 27. Ce calculateur calcule n’importe quelle racine et indique si le résultat est exact.
Les formules
- Racine n-ième : ⁿ√x = x^(1/n)
- Racine carrée : √x = x^(1/2)
- Racine cubique : ∛x = x^(1/3)
Une racine est une puissance à exposant fractionnaire, et c’est ainsi que le calculateur la calcule. La ligne de vérification élève le résultat à la puissance n pour retrouver le nombre de départ.
Exemple chiffré
Cherchons la racine carrée de 50.
- √50 ≈ 7,0710678.
- 50 est compris entre les carrés parfaits 49 et 64 : la racine est entre 7 et 8.
- Comme 50 = 25 × 2, la forme exacte est 5√2.
- La racine cubique de 50 vaut 3,6840315.
Carrés et cubes parfaits
| n | n² | n³ |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 10 | 100 | 1 000 |
| 12 | 144 | 1 728 |
Quand le nombre est une puissance parfaite, le calculateur signale que le résultat est exact.
Simplifier une racine carrée
Pour simplifier une racine à la main, cherchez le plus grand carré parfait qui divise le nombre : √72 = √(36 × 2) = 6√2, et √50 = √(25 × 2) = 5√2. La valeur décimale est la même ; la forme simplifiée est préférée en algèbre, car elle reste exacte.
Racines de nombres négatifs
Une racine d’indice impair d’un nombre négatif est un réel négatif : ∛(−8) = −2. Une racine d’indice pair d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels : aucun réel n’a pour carré −4. Dans les nombres complexes, les solutions de z² = −4 sont 2i et −2i. Le calculateur signale ce cas.
Estimer une racine de tête
Partez du carré parfait le plus proche, puis corrigez : √50 ≈ 7 + (50 − 49) ÷ (2 × 7) = 7,071. Ce raccourci, issu de la méthode de Newton, est juste à trois ou quatre chiffres près quand le nombre est proche d’un carré parfait.
À quoi servent les racines
Les racines carrées donnent le côté d’un carré à partir de son aire, les distances avec le théorème de Pythagore, l’écart type en statistique ou la valeur efficace d’un courant alternatif. Les racines cubiques donnent l’arête d’un cube à partir de son volume, et les racines d’indice plus élevé interviennent dans les taux de croissance, comme le taux annuel qui double un capital en 10 ans : ¹⁰√2 − 1 = 7,18 %.