Arcs, cuves et lentilles
Un segment circulaire est la partie d’un disque découpée par une droite, la corde. On le rencontre dans les fenêtres et portes cintrées, dans la section du liquide d’une cuve cylindrique couchée, dans les virages routiers ou dans le profil d’une lentille. Deux mesures le décrivent en général : la longueur de la corde (la largeur) et la hauteur, appelée flèche.
Trouver le rayon à partir de la largeur et de la flèche
Quand on mesure un arc existant, on connaît rarement son rayon. Utilisez :
r = c² ÷ (8h) + h ÷ 2
où c est la corde et h la flèche. La formule découle du triangle rectangle formé par le rayon, la demi-corde et la distance du centre à la corde.
Les autres formules
Avec le rayon r et la flèche h :
- Demi-angle au centre : α = arccos((r − h) ÷ r)
- Corde : c = 2 × √(h × (2r − h))
- Longueur de l’arc : s = r × 2α (α en radians)
- Aire : A = r² × α − (r − h) × √(2rh − h²)
Si la flèche dépasse le rayon, le segment est plus grand qu’un demi-disque et les formules restent valables.
Exemple : une fenêtre cintrée
Un cintre de fenêtre fait 120 cm de large pour 30 cm de flèche :
- Rayon : 120² ÷ (8 × 30) + 30 ÷ 2 = 60 + 15 = 75 cm
- Angle au centre : 2 × arccos(45 ÷ 75) = 106,3°
- Longueur de l’arc : 75 × 1,855 ≈ 139,1 cm, utile pour cintrer une moulure ou commander un linteau
- Aire : 5 625 × 0,9273 − 45 × 60 ≈ 2 516 cm², soit environ 0,25 m² de vitrage
Exemple : une cuve couchée
Une cuve cylindrique de 75 cm de rayon contient 30 cm de liquide. La section du liquide est le même segment que ci-dessus, 2 516 cm². Si la cuve mesure 2 m de long, le volume de liquide vaut 2 516 × 200 ≈ 503 000 cm³, soit environ 503 litres.
Conseils
- Saisissez toutes les longueurs dans la même unité ; l’aire sort dans cette unité au carré.
- Pour tracer un arc sur un chantier, un cordeau fixé au centre avec le rayon calculé dessine la courbe.
- Pour un arc très plat, mesurez la flèche avec soin : une petite erreur change beaucoup le rayon.