La suite des lapins et des spirales
Partez de 0 et 1, puis ajoutez toujours les deux derniers nombres : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… C’est la suite de Fibonacci, du surnom de Léonard de Pise, qui l’a utilisée en 1202 dans son Liber abaci pour un problème de reproduction de lapins. Des mathématiciens indiens l’avaient décrite des siècles plus tôt en étudiant la métrique poétique. Elle surgit dans des endroits inattendus, des spirales des tournesols et des pommes de pin aux algorithmes informatiques.
Définition
F(0) = 0, F(1) = 1 et F(n) = F(n − 1) + F(n − 2)
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| F(n) | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
C’est l’exemple type de suite récurrente linéaire d’ordre 2, étudiée en terminale (option mathématiques expertes) et en classes préparatoires.
La formule de Binet
Calculer F(100) en additionnant les termes un à un serait fastidieux. La formule de Binet, publiée par Jacques Binet en 1843 et déjà connue d’Abraham de Moivre, donne directement n’importe quel terme :
F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, où φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887 est le nombre d’or et ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,618.
Comme |ψ| est inférieur à 1, ψⁿ devient vite négligeable : F(n) est simplement φⁿ ÷ √5 arrondi à l’entier le plus proche. Le calculateur utilise cette formule jusqu’à n = 78, le plus grand terme qu’il peut afficher exactement.
Exemple
Pour n = 20 :
- F(20) = φ²⁰ ÷ √5 arrondi = 6 765.
- Terme précédent F(19) = 4 181 ; terme suivant F(21) = 10 946.
- Somme des 20 premiers termes : F(22) − 1 = 17 710.
- Rapport F(20) ÷ F(19) = 1,618033963, déjà à moins de 0,00000003 de φ.
- Nombre de Lucas L(20) = 15 127.
Propriétés utiles
- Somme : F(1) + F(2) + … + F(n) = F(n + 2) − 1.
- Rapport : F(n + 1) ÷ F(n) tend vers φ quand n grandit.
- Test : un entier x est un nombre de Fibonacci si et seulement si 5x² + 4 ou 5x² − 4 est un carré parfait. Pour 144, 5 × 144² + 4 = 103 684 = 322² : 144 est F(12).
- Divisibilité : F(m) divise F(n) dès que m divise n ; par exemple F(3) = 2 divise un terme sur trois.
- Nombres de Lucas : 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18… suivent la même règle avec un autre départ, et L(n) = φⁿ + ψⁿ.
Dans la nature et ailleurs
Beaucoup de plantes disposent leurs feuilles et leurs graines selon des angles liés au nombre d’or : en comptant les spirales d’un cœur de tournesol ou d’une pomme de pin, on trouve souvent deux nombres de Fibonacci consécutifs, comme 34 et 55. En informatique, la suite intervient dans l’analyse d’algorithmes et dans certaines structures de données. Les « retracements de Fibonacci » des analystes boursiers, en revanche, n’ont guère de fondement démontré.