Dénombrer les choix possibles
Combien de façons de choisir 3 personnes parmi 10 ? De les placer sur un podium ? De composer un code à 4 chiffres ? Ces questions relèvent du dénombrement, et se ramènent à deux idées : l’ordre compte-t-il, et peut-on répéter un élément ? Ce calculateur donne les quatre résultats d’un coup, ainsi que la factorielle de n.
Les formules
- Combinaisons (sans ordre) : C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!), aussi notée « k parmi n »
- Arrangements (avec ordre) : A(n, k) = n! ÷ (n − k)!
- Combinaisons avec répétition : C(n + k − 1, k)
- Arrangements avec répétition : nᵏ
- Factorielle : n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1, avec 0! = 1
Les très grands résultats s’affichent en notation scientifique, comme 3,04 × 10⁶⁴ pour 50!.
Exemple chiffré
Une association de 10 membres désigne 3 personnes.
- Pour former un comité, l’ordre ne compte pas : C(10, 3) = 3 628 800 ÷ (6 × 5 040) = 120.
- Pour élire un président, un trésorier et un secrétaire, l’ordre compte : A(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720.
- Si une même personne peut cumuler les fonctions, il y a 10³ = 1 000 possibilités.
- Un comité donné a 1 chance sur 120, soit 0,83 %, d’être tiré au sort.
Quelle formule choisir
| Ordre ? | Répétition ? | Exemple | Formule |
|---|---|---|---|
| Non | Non | grille de loto, comité | C(n, k) |
| Oui | Non | podium, attribution de places | A(n, k) |
| Non | Oui | 3 boules de glace parmi 10 parfums | C(n + k − 1, k) |
| Oui | Oui | code PIN, cadenas à chiffres | nᵏ |
Les chances au Loto et à l’EuroMillions
Au Loto, il faut trouver 5 numéros parmi 49, dans n’importe quel ordre, et 1 numéro chance parmi 10. Cela fait C(49, 5) × 10 = 1 906 884 × 10 = 19 068 840 combinaisons, soit une chance sur 19 millions par grille. À l’EuroMillions, avec 5 numéros parmi 50 et 2 étoiles parmi 12, il y a 2 118 760 × 66 = 139 838 160 combinaisons.
La factorielle grandit très vite
| n | n! |
|---|---|
| 5 | 120 |
| 10 | 3 628 800 |
| 13 | 6 227 020 800 |
| 20 | environ 2,43 × 10¹⁸ |
| 52 | environ 8,07 × 10⁶⁷ |
Un jeu de 52 cartes bien mélangé peut se trouver dans 52! ordres différents : il est presque certain que deux jeux bien battus n’ont jamais été dans le même ordre dans toute l’histoire.
La symétrie
Choisir k éléments à garder revient à choisir n − k éléments à écarter : C(n, k) = C(n, n − k). Il y a autant de façons de choisir 7 personnes parmi 10 que d’en choisir 3. Le tableau de comparaison montre ces nombres qui montent puis redescendent de façon symétrique.