Suites arithmétiques et géométriques
Une suite est une liste ordonnée de nombres construite selon une règle. Les deux suites étudiées au lycée sont :
- La suite arithmétique : on ajoute toujours le même nombre, la raison r. Exemple : 3, 7, 11, 15… avec r = 4.
- La suite géométrique : on multiplie toujours par le même nombre, la raison q. Exemple : 3, 6, 12, 24… avec q = 2.
Une suite arithmétique modélise une évolution constante, comme un loyer qui augmente de 20 € par an. Une suite géométrique modélise une évolution en pourcentage, comme des intérêts composés ou une population qui croît de 1 % par an.
Les formules
Le calculateur numérote les termes à partir de u₁. Avec une suite qui commence à u₀, comme souvent au lycée, décalez le rang de un.
Suite arithmétique
- Terme de rang n : uₙ = u₁ + (n − 1) × r
- Somme des n premiers termes : Sₙ = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) ÷ 2
Suite géométrique
- Terme de rang n : uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹
- Somme des n premiers termes : Sₙ = u₁ × (1 − qⁿ) ÷ (1 − q), ou n × u₁ si q = 1
- Somme infinie, seulement si |q| < 1 : S = u₁ ÷ (1 − q)
Exemple : suite arithmétique, u₁ = 3, r = 4
- Dixième terme : 3 + 9 × 4 = 39.
- Somme des 10 premiers termes : 10 × (3 + 39) ÷ 2 = 210.
- C’est l’astuce attribuée au jeune Gauss : 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 ÷ 2 = 5 050.
Exemple : suite géométrique, u₁ = 3, q = 2
- Dixième terme : 3 × 2⁹ = 1 536.
- Somme des 10 premiers termes : 3 × (1 − 1 024) ÷ (1 − 2) = 3 069.
- Avec q = 0,5, les termes diminuent (3 ; 1,5 ; 0,75…) et la somme infinie vaut 3 ÷ 0,5 = 6.
Termes et sommes (exemple arithmétique)
| n | uₙ | Sₙ |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 7 | 10 |
| 5 | 19 | 55 |
| 10 | 39 | 210 |
| 20 | 79 | 820 |
| 50 | 199 | 5 050 |
Reconnaître le type de suite
Calculez les différences entre termes consécutifs : si elles sont constantes, la suite est arithmétique. Calculez les quotients : s’ils sont constants, elle est géométrique. La suite 1, 4, 9, 16 n’est ni l’une ni l’autre : c’est la suite des carrés.
Applications pratiques
- Épargne : mettre 50 € de plus chaque mois forme une suite arithmétique ; le total sur un an est la somme de 12 termes.
- Intérêts et inflation : une valeur qui augmente de 3 % par an suit une suite géométrique de raison q = 1,03.
- Dépréciation : une voiture qui perd 15 % par an garde chaque année 0,85 de sa valeur.
- Écriture décimale illimitée : 0,333… = 0,3 + 0,03 + … est une série géométrique de somme 0,3 ÷ 0,9 = 1/3.