Une pyramide dont on a coupé la pointe
Un tronc de pyramide est ce qui reste d’une pyramide coupée par un plan parallèle à sa base, une fois la partie supérieure retirée. Un tronc de pyramide régulière a pour bases deux polygones réguliers semblables, le plus grand en bas et le plus petit en haut, et ses faces latérales sont des trapèzes isocèles identiques. Trémies, jardinières, abat-jour et semelles de fondation en béton prennent souvent cette forme.
Les formules
Pour un tronc régulier à n côtés, de côté a1 en bas, a2 en haut et de hauteur h :
- Aire de chaque base : B = n × a² ÷ (4 × tan(180° ÷ n))
- Volume : V = h ÷ 3 × (B1 + B2 + √(B1 × B2))
- Apothème de chaque base : r = a ÷ (2 × tan(180° ÷ n))
- Apothème du tronc, ou hauteur des faces : s = √(h² + (r1 − r2)²)
- Aire latérale : n × (a1 + a2) ÷ 2 × s
- Arête latérale : √(s² + ((a1 − a2) ÷ 2)²)
- Aire totale : aire latérale + B1 + B2
Exemple
Un tronc à base carrée de 6 cm de côté en bas, 3 cm en haut et 4 cm de hauteur :
- Aires des bases : 36 cm² et 9 cm²
- Volume : 4 ÷ 3 × (36 + 9 + √324) = 4 ÷ 3 × 63 = 84 cm³
- Apothème du tronc : √(4² + 1,5²) = 4,272 cm
- Aire latérale : 4 × (6 + 3) ÷ 2 × 4,272 = 76,896 cm²
- Aire totale : 121,896 cm²
- Arête latérale : 4,528 cm
Une formule venue de l’Égypte ancienne
Le papyrus mathématique de Moscou, rédigé vers 1850 avant notre ère, contient un problème qui demande le volume d’un tronc de pyramide carrée de côté 4 en bas, 2 en haut et de hauteur 6. La méthode du scribe correspond à la formule moderne et donne 56 : c’est l’un des plus anciens résultats connus de géométrie dans l’espace.
Vérifier le résultat
Le volume du tronc est toujours compris entre celui du prisme de base supérieure, B2 × h, et celui du prisme de base inférieure, B1 × h. Quand a2 est égal à a1, la formule redonne un prisme ; quand a2 vaut zéro, elle redonne la pyramide complète, V = B1 × h ÷ 3. En béton, multipliez le volume par la masse volumique, environ 2,4 t/m³, pour estimer le poids d’une semelle.