Les directions qu’une matrice ne fait pas tourner
En multipliant un vecteur par une matrice, on change en général sa longueur et sa direction. Mais pour la plupart des matrices, il existe des directions particulières où le vecteur est seulement étiré ou contracté : A × v = λ × v. Le vecteur v est un vecteur propre et le facteur λ sa valeur propre. Pour une matrice 2×2, il suffit d’une équation du second degré pour les trouver.
Le polynôme caractéristique
Pour une matrice de lignes (a, b) et (c, d) :
λ² − (a + d) × λ + (ad − bc) = 0
Le coefficient a + d est la trace et ad − bc le déterminant. Donc :
- λ = (trace ± √(trace² − 4 × déterminant)) ÷ 2.
- La somme des valeurs propres est égale à la trace.
- Leur produit est égal au déterminant.
Exemple
Prenons la matrice de lignes (4, 1) et (2, 3) :
- Trace : 4 + 3 = 7. Déterminant : 4 × 3 − 1 × 2 = 10.
- Discriminant : 7² − 4 × 10 = 9, positif : deux valeurs propres réelles.
- λ₁ = (7 + 3) ÷ 2 = 5 et λ₂ = (7 − 3) ÷ 2 = 2.
Vérification : 5 + 2 = 7 et 5 × 2 = 10.
Les vecteurs propres
Pour chaque valeur propre, on résout (A − λI) × v = 0. Si b n’est pas nul, le vecteur (b, λ − a) convient toujours :
- Pour λ₁ = 5 : (1, 5 − 4) = (1, 1). En effet, A × (1, 1) = (5, 5) = 5 × (1, 1).
- Pour λ₂ = 2 : (1, 2 − 4) = (1, −2). En effet, A × (1, −2) = (2, −4) = 2 × (1, −2).
Si b est nul, le calculateur utilise (λ − d, c), et pour une matrice diagonale, les vecteurs propres sont simplement les axes. Tout multiple non nul d’un vecteur propre est aussi un vecteur propre : (2, 2) ou (−1, −1) sont aussi justes que (1, 1).
Trois cas
| Discriminant | Valeurs propres | Exemple |
|---|---|---|
| Positif | Deux valeurs réelles distinctes | lignes (4, 1), (2, 3) : 5 et 2 |
| Nul | Une valeur réelle double | lignes (2, 1), (0, 2) : 2 double |
| Négatif | Une paire complexe conjuguée | lignes (0, −1), (1, 0) : ± i |
Une valeur propre double peut n’avoir qu’un seul vecteur propre indépendant, comme dans le deuxième exemple : la matrice n’est alors pas diagonalisable. Un discriminant négatif signale une rotation : la rotation d’un quart de tour a pour valeurs propres 0 ± 1i, et aucune direction réelle ne reste fixe.
À quoi ça sert ?
- Équations différentielles : pour x’ = A x, les solutions croissent ou décroissent comme e^(λt) ; des parties réelles négatives signifient un système stable.
- Chaînes de Markov : la distribution à long terme est le vecteur propre associé à la valeur propre 1.
- Statistique : l’analyse en composantes principales (ACP) cherche les vecteurs propres de la matrice de covariance ; les valeurs propres donnent la variance expliquée par chaque axe.
- Mécanique : les fréquences propres d’une structure qui vibre viennent des valeurs propres.
La diagonalisation des matrices est un classique des programmes de classes préparatoires et de licence de mathématiques. Pour des matrices plus grandes, utilisez le calculateur de matrices ou un logiciel de calcul, car le polynôme caractéristique devient vite difficile à résoudre à la main.