Les six rapports trigonométriques
Dans un triangle rectangle, la trigonométrie relie un angle aux rapports des longueurs des côtés :
- sinus = côté opposé ÷ hypoténuse
- cosinus = côté adjacent ÷ hypoténuse
- tangente = côté opposé ÷ côté adjacent = sin ÷ cos
Le moyen mnémotechnique appris au collège est CAH SOH TOA : Cosinus = Adjacent ÷ Hypoténuse, Sinus = Opposé ÷ Hypoténuse, Tangente = Opposé ÷ Adjacent. Les trois autres rapports sont leurs inverses : cosécante = 1 ÷ sin, sécante = 1 ÷ cos et cotangente = 1 ÷ tan. Sur le cercle trigonométrique, ces définitions s’étendent à tous les angles, négatifs ou supérieurs à 360°.
Degrés et radians
Un tour complet vaut 360° ou 2π radians. Pour convertir :
- radians = degrés × π ÷ 180
- degrés = radians × 180 ÷ π
Ainsi 30° = π/6 ≈ 0,5236 rad, 90° = π/2 et 180° = π. Le collège travaille en degrés, le lycée surtout en radians. Une calculatrice réglée sur le mauvais mode (DEG ou RAD) est l’erreur la plus fréquente.
Exemple : 30°
- sin 30° = 0,5
- cos 30° = √3 ÷ 2 ≈ 0,866025
- tan 30° = 0,5 ÷ 0,866 ≈ 0,577350
- cosec 30° = 2, sec 30° ≈ 1,154701, cotan 30° ≈ 1,732051
- En radians, 30° vaut 0,523599.
Valeurs remarquables
| Angle | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 ≈ 0,866 | √3/3 ≈ 0,577 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,707 | √2/2 ≈ 0,707 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0,866 | 1/2 | √3 ≈ 1,732 |
| 90° | 1 | 0 | non définie |
| 180° | 0 | −1 | 0 |
Signes selon le quadrant
Le calculateur ramène l’angle entre 0° et 360°. Dans le premier quadrant (0° à 90°), tous les rapports sont positifs. Dans le deuxième (90° à 180°), seul le sinus l’est ; dans le troisième (180° à 270°), seule la tangente ; dans le quatrième (270° à 360°), seul le cosinus.
Formules utiles
- cos² x + sin² x = 1
- tan x = sin x ÷ cos x
- sin(90° − x) = cos x
- sin(2x) = 2 sin x cos x
Applications pratiques
- Hauteur d’un arbre ou d’un bâtiment : hauteur = distance × tan(angle de visée). À 20 m et 35°, le sommet est 20 × 0,700 = 14 m au-dessus de vos yeux.
- Rampes et toitures : une pente d’angle x monte de tan x pour chaque unité parcourue à l’horizontale.
- Forces : une traction de 100 N inclinée de 30° a une composante horizontale de 100 × cos 30° = 86,6 N.