La forme d’une bouée
Un tore est la surface obtenue en faisant tourner un cercle autour d’un axe situé dans son plan, sans le couper. Deux grandeurs le décrivent :
- le grand rayon R, du centre du trou au centre du tube ;
- le petit rayon r, le rayon du tube lui-même.
Les bouées, les chambres à air, les beignets, les joints toriques et les chambres à plasma des réacteurs de fusion appelés tokamaks, comme celui du projet ITER à Cadarache, ont une forme proche d’un tore.
Les formules
Volume : V = 2π² × R × r²
Aire : A = 4π² × R × r
Elles découlent des théorèmes de Guldin, appelés aussi théorèmes de Pappus : le volume d’un solide de révolution est égal à l’aire de la figure multipliée par la distance parcourue par son centre de gravité. Ici, l’aire est πr² et la distance 2πR, d’où V = πr² × 2πR. De même, l’aire du tore est égale au périmètre du cercle, 2πr, multiplié par 2πR.
À partir des diamètres
Il est souvent plus simple de mesurer les diamètres extérieur et intérieur :
- R = (diamètre extérieur + diamètre intérieur) ÷ 4
- r = (diamètre extérieur − diamètre intérieur) ÷ 4
Exemple
Un tore de grand rayon R = 10 et de petit rayon r = 3, soit un diamètre extérieur de 26 et intérieur de 14 :
- Volume : 2 × π² × 10 × 9 = 1 776,5 unités cubes
- Aire : 4 × π² × 10 × 3 = 1 184,4 unités carrées
- Section du tube : π × 3² = 28,3 unités carrées
Si les longueurs sont en centimètres, le volume est en cm³ : divisez par 1 000 pour l’obtenir en litres. Une bouée de 26 cm de diamètre extérieur et 14 cm de trou contient ainsi environ 1,8 litre d’air.
Applications
- Joints toriques : le volume indique la quantité de caoutchouc du joint, et la gorge doit pouvoir l’accueillir avec une marge, en général de 10 à 25 %.
- Bouées et chambres à air : le volume donne la quantité d’air à l’intérieur.
- Pâtisserie : le volume d’un moule à savarin ou d’une couronne aide à adapter une recette d’un moule à l’autre.
- Industrie : réservoirs toriques et noyaux de transformateurs utilisent les mêmes formules.
Cas particuliers
Quand r est égal à R, le trou se referme en un point : on parle de tore à collier nul. Quand r est plus grand que R, le tube traverse l’axe et la surface se recoupe : les formules ne donnent plus le volume réel du solide. Un tore dont r est très petit devant R se comporte presque comme un long cylindre fin de longueur 2πR refermé en anneau.