Le modèle logistique
Une croissance exponentielle ne peut pas durer : la nourriture, l’espace ou d’autres ressources finissent par manquer. Le modèle logistique, proposé par le mathématicien belge Pierre-François Verhulst en 1838, ajoute une capacité limite K, l’effectif maximal que le milieu peut supporter. La croissance est d’abord rapide, ralentit à l’approche de K, puis se stabilise : c’est la courbe en S.
La formule
P(t) = K ÷ (1 + ((K − P0) ÷ P0) × e^(−r t))
- P0 : population initiale ;
- K : capacité limite ;
- r : taux de croissance intrinsèque par unité de temps ;
- t : temps.
La vitesse de croissance à chaque instant vaut dP/dt = r × P × (1 − P ÷ K).
Propriétés clés
- Point d’inflexion : la croissance est maximale quand P = K ÷ 2, à l’instant t* = ln((K − P0) ÷ P0) ÷ r.
- Vitesse de croissance maximale : r × K ÷ 4.
- Temps pour atteindre un effectif P : t = ln((K − P0) ÷ P0 × P ÷ (K − P)) ÷ r.
- Tant que P est très inférieur à K, le modèle se comporte comme une croissance exponentielle.
Exemple
P0 = 100, K = 1 000, r = 0,2 par an :
- à t = 10 ans : P ≈ 451, soit 45 % de la capacité ;
- vitesse de croissance à cet instant : 0,2 × 451 × 0,549 ≈ 49,5 par an, proche du maximum de 50 ;
- point d’inflexion vers t ≈ 11 ans, quand P = 500 ;
- 900 est atteint au bout d’environ 22 ans.
Domaines d’application
- Écologie : populations animales et végétales, bactéries en culture.
- Épidémiologie : début de la courbe cumulée d’une épidémie dans une population fermée.
- Économie et marketing : diffusion d’un produit ou d’une technologie (courbe en S de l’adoption), saturation d’un marché.
- Apprentissage automatique : la fonction logistique (sigmoïde) est au cœur de la régression logistique.
Limites du modèle
- Les populations réelles dépassent K, oscillent ou s’effondrent, surtout avec des délais de reproduction.
- K peut changer avec le milieu, les saisons ou la technique.
- Prédateurs, concurrence et migrations demandent des modèles plus riches, comme celui de Lotka-Volterra.
- Estimer r et K à partir des premières données est peu fiable : beaucoup de courbes en S différentes collent aussi bien au début de la courbe.