L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne une garantie valable pour n’importe quelle loi ayant une espérance et un écart-type finis, quelle que soit sa forme : asymétrique, bimodale ou à queues épaisses. La part des valeurs situées à moins de k écarts-types de la moyenne vaut au moins :
1 − 1 ÷ k², pour tout k > 1.
Elle est souvent écrite sous la forme du programme de terminale : P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X) ÷ δ².
| k | Au moins dans μ ± kσ | Loi normale |
|---|---|---|
| 1,5 | 55,6 % | 86,6 % |
| 2 | 75 % | 95,4 % |
| 3 | 88,9 % | 99,7 % |
| 4 | 93,75 % | 99,99 % |
Exemple
Une série a une moyenne de 100 et un écart-type de 15, de forme inconnue :
- avec k = 2, au moins 75 % des valeurs sont entre 70 et 130, et au plus 25 % en dehors ;
- la borne unilatérale de Cantelli indique qu’au plus 20 % des valeurs dépassent 130 (et au plus 20 % sont sous 70) ;
- si la loi était normale, 95,45 % des valeurs seraient entre 70 et 130 ;
- pour garantir au moins 90 % des valeurs, il faut k = √10 ≈ 3,16, soit l’intervalle de 52,6 à 147,4.
Pourquoi la borne est si large
La borne doit tenir pour toutes les lois possibles, y compris les plus extrêmes. Elle est donc bien plus faible que ce que donne une loi normale ou toute loi en cloche. Elle n’est atteinte exactement que par une loi concentrée en trois points. Pour les lois unimodales, l’inégalité de Vysochanskij-Petunin, plus fine, garantit au moins 1 − 4 ÷ (9k²) pour k > 1,63, soit 88,9 % à 2 écarts-types.
Usages
- Garanties robustes : limites de risque ou tolérances quand la loi est inconnue.
- Théorie : l’inégalité démontre la loi faible des grands nombres, au programme de terminale. La moyenne de n observations a un écart-type σ ÷ √n et se concentre donc autour de μ quand n grandit.
- Vérifications rapides : au plus 1/9 des valeurs d’une série peut se situer à plus de 3 écarts-types de la moyenne. Si vous en trouvez davantage, vérifiez la moyenne ou l’écart-type.
L’inégalité de Markov
Bienaymé-Tchebychev découle de l’inégalité de Markov : pour une variable positive, P(X ≥ a) ≤ E(X) ÷ a. Avec une attente moyenne de 10 minutes, au plus 20 % des attentes dépassent 50 minutes, quelle que soit la loi.