Ce que mesure le score z
Le score z, aussi appelé cote z ou valeur centrée réduite, indique à quelle distance de la moyenne se trouve une valeur, en nombre d’écarts types. Il permet de comparer des grandeurs mesurées sur des échelles différentes : une note de 14 dans une matière très homogène et une note de 16 dans une matière très dispersée deviennent comparables une fois exprimées en score z. Si les données suivent une loi normale, le score z donne aussi le percentile, c’est-à-dire la part des valeurs inférieures.
La formule
- z = (x − μ) ÷ σ, avec x la valeur, μ la moyenne et σ l’écart type
- Percentile = Φ(z), la fonction de répartition de la loi normale
- Part au-dessus = 1 − Φ(z)
- Part au moins aussi éloignée de la moyenne (bilatérale) = 2 × (1 − Φ(|z|))
Exemple chiffré
Une élève obtient 14/20 à un devoir dont la moyenne de classe est 11 et l’écart type 2,5.
- z = (14 − 11) ÷ 2,5 = 1,2 : sa note se situe 1,2 écart type au-dessus de la moyenne.
- Φ(1,2) = 0,8849 : elle fait mieux qu’environ 88,5 % de la classe.
- Seuls 11,5 % des élèves auraient une meilleure note si les notes suivaient une loi normale.
- Un 16/20 dans la même classe aurait un score z de 2 et se placerait au 97,7e percentile.
Correspondance entre score z et percentile
| Score z | Percentile | Part au-dessus |
|---|---|---|
| −2,0 | 2,3 % | 97,7 % |
| −1,0 | 15,9 % | 84,1 % |
| 0 | 50,0 % | 50,0 % |
| 0,5 | 69,1 % | 30,9 % |
| 1,0 | 84,1 % | 15,9 % |
| 1,2 | 88,5 % | 11,5 % |
| 2,0 | 97,7 % | 2,3 % |
| 3,0 | 99,87 % | 0,13 % |
Où l’on rencontre le score z
- Examens et concours : l’harmonisation des notes entre correcteurs ou entre matières repose souvent sur une standardisation, c’est-à-dire un passage par les scores z.
- Pédiatrie : la taille et le poids d’un enfant sont situés par rapport aux courbes de référence du carnet de santé, en percentiles ou en écarts types.
- Densitométrie osseuse : le T-score d’un examen d’ostéodensitométrie est un score z calculé par rapport à de jeunes adultes ; à −2,5 ou moins, on parle d’ostéoporose.
- Contrôle qualité : une mesure à plus de 3 écarts types de la cible signale une dérive du procédé.
- Détection des valeurs aberrantes : on repère souvent les observations dont |z| dépasse 3.
Précautions
Le passage du score z au percentile suppose une distribution à peu près normale. Pour des données asymétriques, comme les revenus ou les prix immobiliers, la part réelle des valeurs au-dessus d’un score z donné peut être très différente. Regardez d’abord la forme de la distribution, ou utilisez directement le rang des valeurs observées. Pour faire le chemin inverse, d’un percentile vers une valeur, utilisez le calculateur de percentile.