Intervalle de confiance d’une proportion
Quand x personnes sur n répondent oui, ou que x pièces sur n sont défectueuses, la proportion observée p̂ = x ÷ n estime la vraie proportion. L’intervalle de confiance donne la fourchette des valeurs compatibles avec les données. Plusieurs méthodes existent, et celle des manuels est la moins fiable.
Les quatre méthodes
- Wald : p̂ ± z √(p̂(1 − p̂) ÷ n), la formule du programme de lycée. Simple, elle couvre la vraie valeur moins souvent qu’annoncé, surtout pour de petits n ou des proportions proches de 0 ou 100 %. Elle peut même donner des bornes négatives ou supérieures à 100 %.
- Wilson (intervalle score) : centré sur (p̂ + z²/2n) ÷ (1 + z²/n), il garde une couverture proche du niveau annoncé, même sur de petits échantillons. C’est la méthode recommandée par défaut.
- Agresti-Coull : on ajoute z²/2 succès et z²/2 échecs, puis on applique la formule de Wald. À 95 %, cela revient à peu près à « ajouter deux succès et deux échecs ». Simple et efficace.
- Clopper-Pearson (exact) : fondé sur la loi binomiale, il couvre toujours la vraie valeur au moins aussi souvent qu’annoncé. Il est donc conservateur, un peu plus large, et souvent exigé dans un cadre réglementaire ou médical.
Exemple
18 succès sur 50 essais, soit p̂ = 36 %, à 95 % :
| Méthode | Intervalle |
|---|---|
| Wilson | 24,1 % à 49,9 % |
| Clopper-Pearson | 22,9 % à 50,8 % |
| Agresti-Coull | 24,1 % à 49,9 % |
| Wald | 22,7 % à 49,3 % |
Avec 50 observations, les méthodes sont proches. Avec 2 succès sur 20, elles divergent nettement : Wald donne −3,1 % à 23,1 %, une borne négative impossible, et Wilson 2,8 % à 30,1 %.
Aucun succès
Si x = 0, Wald donne l’intervalle absurde de 0 à 0. La borne haute exacte vaut 1 − (α/2)^(1/n), et la « règle de trois » approche la borne haute unilatérale à 95 % par 3 ÷ n : avec 0 effet indésirable chez 100 patients, le vrai taux peut encore atteindre environ 3 %.
Interpréter l’intervalle
Un intervalle à 95 % signifie que la méthode, appliquée à de nombreux échantillons, capture la vraie proportion 95 fois sur 100. Il ne tient pas compte des biais : un échantillon non aléatoire, un faible taux de réponse ou une question orientée peuvent déplacer l’estimation bien plus que ne le suggère l’intervalle. C’est pourquoi la Commission des sondages demande que les marges d’erreur soient publiées avec les sondages électoraux.
Préparer une enquête
La largeur de l’intervalle diminue comme √n : pour diviser la marge d’erreur par deux, il faut quatre fois plus de répondants. Pour une marge d’environ ±3 points à 95 % autour de 50 %, il faut près de 1 070 personnes, l’ordre de grandeur des sondages nationaux usuels.