Intervalle de confiance d’une variance
L’écart-type d’un échantillon estime la variabilité de toute une population : dispersion de la production d’une machine, fidélité d’un instrument, régularité d’un procédé. Comme l’écart-type de l’échantillon varie lui-même d’un échantillon à l’autre, un intervalle de confiance indique avec quelle précision il cerne la vraie valeur σ.
Les formules
Si les données suivent une loi normale, (n − 1)s² ÷ σ² suit une loi du khi-deux à n − 1 degrés de liberté. On en déduit :
(n − 1)s² ÷ χ²₁₋α/₂ ≤ σ² ≤ (n − 1)s² ÷ χ²α/₂
On prend les racines carrées pour l’intervalle de l’écart-type. L’intervalle n’est pas symétrique autour de s : il s’étend davantage vers le haut, car la loi du khi-deux est asymétrique.
Exemple
Un échantillon de 15 pièces a un écart-type de 4,2 :
- s² = 17,64, et (n − 1)s² = 246,96 ;
- les quantiles du khi-deux à 14 degrés de liberté valent 5,63 et 26,12 ;
- intervalle à 95 % de σ² : 9,46 à 43,87 ;
- intervalle à 95 % de σ : environ 3,07 à 6,62.
Avec 15 valeurs, le vrai écart-type peut donc se situer de 27 % en dessous à 58 % au-dessus de la valeur observée. Estimer précisément une dispersion demande bien plus d’observations qu’estimer une moyenne.
Tester une valeur de référence
Pour vérifier si σ vaut une valeur cible σ₀, par exemple une tolérance du cahier des charges, calculez χ² = (n − 1)s² ÷ σ₀² et comparez-le à la loi du khi-deux. Avec σ₀ = 5, χ² = 9,88 et la valeur p bilatérale vaut environ 0,46 : les données sont compatibles avec un écart-type de 5.
En maîtrise statistique des procédés (MSP), on utilise souvent la version unilatérale : pour démontrer qu’un procédé est assez précis, on teste si σ est inférieur à la valeur maximale admise.
L’hypothèse de normalité
Contrairement à l’intervalle d’une moyenne, assez robuste, celui-ci est très sensible à la non-normalité : des queues épaisses font chuter la couverture réelle bien au-dessous du niveau annoncé. Vérifiez la distribution avec un histogramme ou une droite de Henry ; pour des données non normales, un intervalle par bootstrap est plus sûr.
Effectif et précision
| n | Borne haute ÷ s (95 %) |
|---|---|
| 5 | 2,87 |
| 10 | 1,83 |
| 30 | 1,34 |
| 100 | 1,16 |
Avec 10 valeurs, le vrai écart-type peut presque doubler par rapport à l’écart-type observé. Gardez-le en tête quand un écart-type estimé sert à calculer un effectif ou un indice de capabilité comme le Cp.