La loi bêta
La loi bêta est définie sur l’intervalle [0 ; 1], ce qui en fait la loi naturelle pour modéliser une proportion ou une probabilité incertaine : taux de conversion, taux de réussite, part de marché. Elle dépend de deux paramètres positifs α et β qui règlent sa forme. En statistique bayésienne, c’est la loi a priori conjuguée de la loi binomiale ; en gestion de projet, elle est à la base de la méthode PERT.
Les formules
- Densité : f(x) = x^(α−1) (1 − x)^(β−1) ÷ B(α, β).
- Fonction de répartition : la fonction bêta incomplète régularisée I(x ; α, β).
- Espérance α ÷ (α + β).
- Variance αβ ÷ ((α + β)² (α + β + 1)).
- Mode (α − 1) ÷ (α + β − 2) pour α et β supérieurs à 1.
Exemple
α = 2 et β = 5, pour x = 0,3 :
- P(X ≤ 0,3) ≈ 0,580 ;
- espérance ≈ 0,286, mode 0,2 ;
- variance ≈ 0,0255, soit un écart-type d’environ 0,16.
Les formes possibles
- α = β = 1 : loi uniforme sur [0 ; 1].
- α = β > 1 : cloche symétrique centrée sur 0,5.
- α < β : masse concentrée vers 0 ; α > β : vers 1.
- α et β inférieurs à 1 : forme en U, avec des valeurs extrêmes probables.
Usage bayésien
Partez d’un a priori Beta(α, β). Après s succès et é échecs, l’a posteriori est Beta(α + s, β + é). Avec un a priori uniforme Beta(1, 1) et 12 conversions sur 100 visites, on obtient Beta(13, 89), d’espérance 12,7 %. La probabilité que le vrai taux dépasse 15 % est P(X > 0,15), lisible directement dans le calculateur. C’est la base des tests A/B bayésiens.
Méthode PERT
En gestion de projet, une durée estimée par un minimum a, un mode m et un maximum b est souvent modélisée par une loi bêta, d’où la durée moyenne PERT (a + 4m + b) ÷ 6. Pour utiliser ce calculateur, ramenez la durée sur [0 ; 1] par (x − a) ÷ (b − a).
Calcul
La fonction bêta incomplète est évaluée par fraction continue (algorithme de Lentz), avec une précision proche de la double précision.