Réviser une probabilité avec un indice
Le théorème de Bayes indique comment réviser la probabilité d’une hypothèse lorsqu’une nouvelle information arrive. Il combine ce que l’on pensait avant (la probabilité a priori) avec la probabilité de l’indice selon que l’hypothèse est vraie ou fausse.
La formule
P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B)
avec la formule des probabilités totales : P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | non A) × P(non A).
- P(A) : probabilité a priori de l’hypothèse.
- P(B | A) : probabilité de l’indice si A est vraie.
- P(B | non A) : probabilité de l’indice si A est fausse.
- P(A | B) : probabilité a posteriori, après l’indice.
Exemple chiffré : un test de dépistage
Une maladie touche 1 % de la population. Un test la détecte dans 90 % des cas et donne un faux positif chez 9 % des personnes saines. Votre test est positif. Quelle est la probabilité d’être malade ?
- P(B) = 0,90 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 0,009 + 0,0891 = 9,81 %.
- P(A | B) = 0,009 ÷ 0,0981 ≈ 9,2 %.
Malgré le test positif, la probabilité d’être malade n’est que d’environ 9 %. Sur 1 000 personnes, 9 malades sont positifs, mais aussi 89 personnes saines.
Le même exemple en effectifs
| Test positif | Test négatif | Total | |
|---|---|---|---|
| Malades | 9 | 1 | 10 |
| Non malades | 89 | 901 | 990 |
| Total | 98 | 902 | 1 000 |
Raisonner en effectifs plutôt qu’en pourcentages rend le théorème bien plus intuitif. C’est aussi la méthode de l’arbre pondéré enseignée au lycée : on lit P(A | B) en divisant la branche « malade et positif » par la somme des branches positives.
Le rapport de vraisemblance
Le rapport P(B | A) ÷ P(B | non A), ici 0,90 ÷ 0,09 = 10, mesure la force de l’indice. Sous forme de cotes :
cote a posteriori = cote a priori × rapport de vraisemblance
Une cote a priori de 1 contre 99 multipliée par 10 donne 10 contre 99, soit environ 9,2 %.
Les erreurs classiques
- Oublier la probabilité a priori : confondre P(B | A) et P(A | B). C’est l’erreur qui pousse à surestimer la valeur d’un test, d’une alarme ou d’une preuve.
- Le sophisme du procureur : confondre « la probabilité de cette preuve si l’accusé est innocent » et « la probabilité que l’accusé soit innocent au vu de la preuve ».
- Des a priori extrêmes : une probabilité a priori de 0 ou 100 % ne peut plus être modifiée par aucun indice.
Enchaîner les indices
Après un second test indépendant, la probabilité a posteriori du premier devient la nouvelle probabilité a priori. Deux résultats positifs augmentent la probabilité bien plus qu’un seul : c’est la logique des tests de confirmation.