La loi gamma
La loi gamma est une loi continue positive à deux paramètres : la forme k (ou α) et l’échelle θ, inverse du taux β. Elle modélise des temps d’attente (le temps jusqu’au k-ième événement d’un processus de Poisson), des montants de sinistres en assurance, des hauteurs de pluie cumulées en hydrologie ou des durées de service. Elle englobe la loi exponentielle (k = 1) et la loi du khi-deux (k = ν/2, θ = 2).
Les formules
- Densité : f(x) = x^(k−1) e^(−x/θ) ÷ (Γ(k) θ^k).
- Fonction de répartition : P(X ≤ x) = P(k, x/θ), la fonction gamma incomplète régularisée.
- Espérance kθ, variance kθ², mode (k − 1)θ pour k ≥ 1.
Attention aux deux paramétrisations : certains logiciels et manuels utilisent le taux β = 1/θ. Avec un taux de 0,5, saisissez une échelle de 2.
Exemple
Forme 2 et échelle 3, pour x = 5 :
- P(X ≤ 5) ≈ 0,496 ;
- P(X > 5) ≈ 0,504 ;
- espérance 6, variance 18, mode 3.
Interprétation : si des clients arrivent en moyenne toutes les 3 minutes, le temps d’attente avant le deuxième client suit cette loi, et il y a environ une chance sur deux qu’il arrive dans les 5 minutes.
Forme et allure
- k < 1 : densité infinie en 0, décroissante.
- k = 1 : loi exponentielle, sans mémoire.
- k > 1 : courbe en cloche asymétrique à droite, de plus en plus symétrique quand k augmente ; pour k grand, la loi gamma se rapproche d’une loi normale de moyenne kθ.
Estimer les paramètres
Par la méthode des moments, à partir d’une moyenne m et d’une variance v observées : k = m² ÷ v et θ = v ÷ m. Par exemple, une moyenne de 6 et une variance de 18 redonnent k = 2 et θ = 3. Le maximum de vraisemblance est plus précis mais demande une résolution numérique.
Somme de lois gamma
La somme de variables gamma indépendantes de même échelle θ suit encore une loi gamma, de forme égale à la somme des formes : c’est ce qui en fait un outil naturel pour les durées cumulées.