Quand utiliser la loi binomiale
La loi binomiale compte le nombre de succès dans une série d’épreuves indépendantes qui ont toutes la même probabilité de réussir. Elle répond à des questions comme : quelle est la probabilité que 7 clients sur 20 achètent, qu’au moins 3 pièces sur 50 soient défectueuses, ou qu’un élève qui répond au hasard à un QCM obtienne la moyenne ? Quatre conditions doivent être réunies : un nombre d’essais n fixé, deux issues par essai, la même probabilité p à chaque fois et des essais indépendants.
Les formules
- P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k), avec C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)
- P(X ≤ k) : somme des P(X = i) pour i de 0 à k
- P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
- Espérance = n × p ; écart type = √(n × p × (1 − p))
Le calculateur additionne les probabilités exactes, ce qui reste précis même pour de grandes valeurs de n.
Exemple chiffré
Un commercial conclut 30 % des rendez-vous qualifiés qu’il obtient. Sur 20 rendez-vous cette semaine, quelle est la probabilité qu’il signe 7 contrats ?
- P(X = 7) = C(20, 7) × 0,3⁷ × 0,7¹³ = 77 520 × 0,0002187 × 0,009689 = 16,4 %.
- P(X ≤ 7) = 77,2 % : la plupart des semaines comptent 7 signatures ou moins.
- P(X ≥ 7) = 39,2 % : une semaine à 7 contrats ou plus arrive environ deux fois sur cinq.
- En moyenne, il signe 6 contrats, avec un écart type de 2,05.
La distribution complète
Pour n = 20 et p = 30 % :
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) | P(X ≥ k) |
|---|---|---|---|
| 2 | 2,8 % | 3,5 % | 99,2 % |
| 4 | 13,0 % | 23,8 % | 89,3 % |
| 5 | 17,9 % | 41,6 % | 76,2 % |
| 6 | 19,2 % | 60,8 % | 58,4 % |
| 7 | 16,4 % | 77,2 % | 39,2 % |
| 8 | 11,4 % | 88,7 % | 22,8 % |
| 10 | 3,1 % | 98,3 % | 4,8 % |
| 12 | 0,4 % | 99,9 % | 0,5 % |
La valeur la plus probable est 6, l’espérance, mais elle ne se produit que dans 19 % des cas.
Un classique : le QCM au hasard
Un QCM de 20 questions à 4 choix, sans points négatifs : un élève qui répond au hasard a une probabilité p = 25 % de réussir chaque question. Il obtient en moyenne 5 bonnes réponses, et sa probabilité d’atteindre 10 ou plus, la moyenne, n’est que d’environ 1,4 %. C’est pour cette raison que certains QCM appliquent des points négatifs ou demandent un nombre minimal de bonnes réponses.
Lois voisines
- Approximation normale : quand n × p et n × (1 − p) dépassent une dizaine, la loi binomiale ressemble à une loi normale de même espérance et de même écart type.
- Loi de Poisson : pour des événements rares, avec n grand et p petit, elle s’approche d’une loi de Poisson de paramètre n × p.
- Loi hypergéométrique : pour un tirage sans remise dans une petite population, comme des cartes dans un jeu, les essais ne sont plus indépendants.
Au lycée, la loi binomiale figure au programme de spécialité mathématiques de première et de terminale ; les valeurs du tableau ci-dessus correspondent à celles d’une calculatrice graphique.