La loi binomiale négative
La loi binomiale négative, appelée aussi loi de Pascal, généralise la loi géométrique : elle décrit le nombre d’épreuves indépendantes nécessaires pour obtenir r succès, chaque épreuve ayant la même probabilité de succès p. Combien de lancers francs jusqu’au troisième panier ? Combien d’appels pour conclure cinq ventes ? Combien de forages avant trois puits productifs ?
Les formules
Avec X le nombre d’épreuves nécessaires au r-ième succès :
- P(X = k) = C(k − 1, r − 1) × pʳ × (1 − p)^(k − r), pour k ≥ r ;
- P(X ≤ k) = probabilité d’au moins r succès en k épreuves, calculée avec la loi binomiale ;
- espérance r ÷ p, variance r(1 − p) ÷ p².
Le terme C(k − 1, r − 1) compte les façons de placer les r − 1 premiers succès parmi les k − 1 premières épreuves, la dernière devant être le r-ième succès.
Exemple
On veut r = 3 succès, chaque épreuve réussissant avec la probabilité p = 0,4 :
- 3e succès exactement à la 8e épreuve : C(7, 2) × 0,4³ × 0,6⁵ = 21 × 0,064 × 0,0778 ≈ 0,105 ;
- 3 succès en 8 épreuves au plus : ≈ 0,685 ;
- plus de 8 épreuves nécessaires : ≈ 0,315 ;
- espérance de 7,5 épreuves, dont 4,5 échecs en moyenne, et variance de 11,25.
Deux conventions
Certains manuels et logiciels comptent le nombre d’échecs avant le r-ième succès plutôt que le nombre d’épreuves. Les deux diffèrent de r : échecs = épreuves − r. Vérifiez la convention de votre source ; dans R, par exemple, dnbinom compte les échecs.
Usage en statistique
Au-delà des temps d’attente, la binomiale négative est le modèle de référence des données de comptage surdispersées, dont la variance dépasse la moyenne : nombre de consultations médicales par personne, de sinistres par assuré, d’insectes par plante. La loi de Poisson impose une variance égale à la moyenne ; la binomiale négative ajoute un paramètre de dispersion. C’est pourquoi la régression binomiale négative est très utilisée en épidémiologie, en écologie et en actuariat.
Lois voisines
- Avec r = 1, la binomiale négative se réduit à la loi géométrique.
- La loi binomiale fixe le nombre d’épreuves et compte les succès ; la binomiale négative fixe le nombre de succès et compte les épreuves.
- La somme de r variables géométriques indépendantes de même paramètre p suit une loi binomiale négative.