Quand utiliser la loi de Poisson
La loi de Poisson compte le nombre d’événements survenant dans un intervalle de temps ou d’espace donné, lorsque ces événements :
- se produisent indépendamment les uns des autres ;
- arrivent un par un ;
- surviennent à un rythme moyen constant λ.
Exemples classiques : appels reçus par un standard en une heure, courriels par minute, fautes de frappe par page, buts par match de football, défauts par mètre carré de tissu.
Les formules
- P(X = k) = e^(−λ) × λ^k ÷ k!
- P(X ≤ k) = somme des P(X = i) pour i de 0 à k
- Espérance = variance = λ, écart type = √λ
Exemple chiffré
Un standard reçoit en moyenne λ = 4 appels par heure. Quelle est la probabilité de recevoir exactement 2 appels dans l’heure qui vient ?
- e^(−4) ≈ 0,018316.
- λ^k ÷ k! = 16 ÷ 2 = 8.
- P(X = 2) ≈ 0,018316 × 8 ≈ 14,65 %.
- P(X ≤ 2) = e^(−4) × (1 + 4 + 8) ≈ 23,81 %.
- P(X ≥ 3) = 1 − 23,81 % ≈ 76,19 %.
Probabilités pour λ = 4
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 1,83 % | 1,83 % |
| 1 | 7,33 % | 9,16 % |
| 2 | 14,65 % | 23,81 % |
| 3 | 19,54 % | 43,35 % |
| 4 | 19,54 % | 62,88 % |
| 6 | 10,42 % | 88,93 % |
| 8 | 2,98 % | 97,86 % |
Les valeurs les plus probables se situent autour de λ ; quand λ est entier, λ − 1 et λ sont aussi probables l’une que l’autre.
Adapter l’intervalle
λ est proportionnel à la durée considérée. Un site qui reçoit 4 commandes par heure en moyenne en reçoit λ = 2 par demi-heure et λ = 96 par jour. Le paramètre doit toujours correspondre à l’intervalle étudié.
Approximation de la loi binomiale
Au lycée et en BTS, on apprend que la loi binomiale B(n, p) peut être approchée par la loi de Poisson de paramètre λ = n × p lorsque n est grand et p petit, en pratique n ≥ 30 et p ≤ 0,1 ou, selon les manuels, n ≥ 20 et p ≤ 0,05. Par exemple, si une pièce sur 1 000 est défectueuse, le nombre de défauts dans un lot de 2 000 suit approximativement une loi de Poisson de paramètre 2.
Vérifier le modèle
Comparez la moyenne et la variance des données observées. Si la variance est nettement plus grande, les événements se regroupent (heures de pointe, contagion) et une loi binomiale négative convient mieux. Si elle est plus petite, les événements sont plus réguliers que le hasard.