La loi géométrique
La loi géométrique décrit l’attente du premier succès dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant la même probabilité de succès p. Combien d’appels avant la première vente ? Combien de lancers avant un six ? Combien d’utilisations avant la première panne ? Elle est au programme de terminale (spécialité mathématiques).
Deux conventions coexistent, et le calculateur gère les deux :
- le rang du premier succès, X = 1, 2, 3, … (par défaut, c’est la convention du programme de lycée) ;
- le nombre d’échecs avant le premier succès, Y = 0, 1, 2, …, avec Y = X − 1.
Les formules (rang du premier succès)
- P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p ;
- P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k ;
- P(X > k) = (1 − p)^k ;
- espérance 1 ÷ p, variance (1 − p) ÷ p².
Exemple
Chaque épreuve réussit avec la probabilité p = 0,2 :
- premier succès exactement au 3e essai : 0,8² × 0,2 = 0,128 ;
- premier succès au plus tard au 3e essai : 1 − 0,8³ = 0,488 ;
- aucun succès lors des 3 premiers essais : 0,512 ;
- espérance de 5 essais, variance de 20, médiane de 4 ;
- il faut 11 essais pour avoir 90 % de chances d’au moins un succès.
L’absence de mémoire
La loi géométrique est sans mémoire : si aucun succès n’est survenu après m essais, le nombre d’essais restants suit la même loi qu’au départ. Dix lancers sans six ne rendent pas le six plus probable au suivant. Croire le contraire, c’est l’erreur du joueur. La loi exponentielle en est l’équivalent continu, avec la même propriété.
Usages courants
- Fiabilité : nombre de cycles avant une première défaillance, quand chaque cycle comporte le même petit risque.
- Jeux de hasard : nombre moyen de tickets ou de lancers avant un gain.
- Prospection commerciale : appels ou relances avant une première conversion.
- Contrôle qualité : pièces inspectées avant le premier défaut.
La probabilité « au moins une fois »
La probabilité d’au moins un succès en n essais vaut 1 − (1 − p)ⁿ. Avec p = 1 % par essai, il faut 69 essais pour une chance sur deux et 230 pour 90 % : souvent bien plus que l’intuition ne le suggère. C’est l’exercice classique « combien de fois jouer pour que la probabilité de gagner au moins une fois dépasse 0,9 ? », résolu avec un logarithme.