La loi de Pareto
La loi de Pareto décrit des grandeurs dominées par quelques très grandes valeurs : revenus et patrimoines, taille des villes, taille des fichiers, sinistres d’assurance, fréquence des mots. Elle doit son nom à Vilfredo Pareto, qui constata vers 1900 qu’environ 20 % de la population possédait environ 80 % des terres en Italie.
Elle a deux paramètres : une échelle xm, la plus petite valeur possible, et une forme α, qui règle l’épaisseur de la queue. Plus α est petit, plus l’inégalité est extrême.
Formules
Pour x ≥ xm :
- densité : f(x) = α × xm^α ÷ x^(α + 1) ;
- fonction de répartition : P(X ≤ x) = 1 − (xm ÷ x)^α ;
- espérance : α × xm ÷ (α − 1), finie seulement si α > 1 ;
- médiane : xm × 2^(1/α) ;
- variance : xm² × α ÷ ((α − 1)² × (α − 2)), finie seulement si α > 2.
Exemple
xm = 1, α = 3, x = 2 :
- P(X ≤ 2) = 1 − (1/2)³ = 0,875 : 12,5 % des valeurs dépassent 2 ;
- densité en 2 : 3 ÷ 2⁴ = 0,1875 ;
- espérance 1,5, médiane 1,26, variance 0,75 ;
- les 20 % les plus hauts détiennent 0,2^(1 − 1/3) ≈ 34,2 % du total.
La règle des 80/20
Pour une loi de Pareto avec α > 1, la part du total détenue par la fraction p la plus haute de la population vaut p^(1 − 1/α). Le partage classique 80/20 correspond à α = log 5 ÷ log 4 ≈ 1,16. Avec cette valeur, le 1 % le plus haut détient environ 53 % du total : la concentration grimpe très vite dans l’extrémité de la queue.
Espérance et variance infinies
Quand α ≤ 1, l’espérance est infinie : la moyenne de l’échantillon continue de croître à mesure que les données arrivent, tirée par de rares valeurs énormes. Quand 1 < α ≤ 2, l’espérance existe mais pas la variance : les moyennes convergent lentement et les erreurs types ne sont pas fiables. Beaucoup de phénomènes réels, comme la taille des villes ou certaines pertes financières, ont un α compris entre 1 et 2.
Estimer α
Avec des données au-dessus d’un seuil xm, l’estimateur du maximum de vraisemblance est α = n ÷ Σ ln(xi ÷ xm). Sur un graphique log-log de la fonction de survie, des données de Pareto s’alignent sur une droite de pente −α.
Lois voisines
La loi log-normale produit aussi des données asymétriques, mais avec une queue plus légère. La loi exponentielle s’obtient en prenant le logarithme de données de Pareto : ln(X ÷ xm) suit une loi exponentielle de paramètre α.