Modéliser un temps d’attente
La loi exponentielle décrit le temps d’attente avant le prochain événement, lorsque les événements surviennent au hasard à un rythme moyen constant. C’est le pendant continu de la loi de Poisson : si le nombre d’événements par heure suit une loi de Poisson de paramètre λ, le temps entre deux événements suit une loi exponentielle de même paramètre.
Les formules
- Paramètre λ = 1 ÷ moyenne
- P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx)
- P(X > x) = e^(−λx)
- P(x₁ ≤ X ≤ x₂) = e^(−λx₁) − e^(−λx₂)
- Médiane = ln 2 ÷ λ ≈ 0,693 × moyenne
- Quantile d’ordre p = −ln(1 − p) ÷ λ
Exemple chiffré
Des bus passent au hasard avec un intervalle moyen de 10 minutes (λ = 0,1 par minute).
- Probabilité d’attendre 5 minutes ou moins : 1 − e^(−0,5) ≈ 39,35 %.
- Probabilité d’attendre plus de 5 minutes : 60,65 %.
- Probabilité d’attendre entre 5 et 15 minutes : e^(−0,5) − e^(−1,5) ≈ 38,34 %.
- Attente médiane : 10 × ln 2 ≈ 6,93 minutes.
- 90 % des attentes durent moins de 10 × ln 10 ≈ 23,0 minutes.
L’absence de mémoire
Si vous attendez déjà depuis 10 minutes, la probabilité d’attendre encore 5 minutes est exactement la même que pour quelqu’un qui vient d’arriver : P(X > s + t | X > s) = P(X > t). Parmi les lois continues, seule la loi exponentielle a cette propriété, étudiée en terminale avec la spécialité mathématiques.
Elle convient donc aux phénomènes sans vieillissement : désintégration radioactive, pannes aléatoires de composants électroniques, arrivées à un guichet. Elle modélise mal ce qui s’use, comme des pneus ou des ampoules en fin de vie, pour lesquels la loi de Weibull est plus adaptée.
Usages courants
- Files d’attente : temps entre deux arrivées de clients à un guichet, un centre d’appels ou sur un site.
- Fiabilité : durée de vie d’un composant à taux de panne constant ; la moyenne est le MTBF (temps moyen entre pannes).
- Physique : désintégration des noyaux radioactifs, la demi-vie étant égale à la médiane.
- Assurance : temps avant le prochain sinistre dans les modèles simples.
Moyenne, médiane et dissymétrie
La loi est dissymétrique : beaucoup d’attentes courtes, quelques-unes très longues. La moyenne (10 minutes) est tirée vers le haut par les longues attentes, tandis que la médiane (6,9 minutes) reflète le cas typique. L’écart type est égal à la moyenne.