La loi de Weibull
La loi de Weibull est la loi de référence en fiabilité et en maintenance industrielle. Elle décrit la durée de vie de composants (roulements, électronique, pièces d’usure) et sert aussi en météorologie pour la vitesse du vent, notamment dans les études de gisement éolien. Elle dépend d’un paramètre de forme k (souvent noté β en fiabilité) et d’un paramètre d’échelle λ (noté η, la durée de vie caractéristique).
Les formules
- Probabilité de défaillance avant x : F(x) = 1 − e^−(x/λ)^k.
- Fiabilité (survie) : R(x) = e^−(x/λ)^k.
- Taux de défaillance : h(x) = (k/λ) × (x/λ)^(k−1).
- Durée de vie moyenne : MTTF = λ × Γ(1 + 1/k).
- Médiane : λ × (ln 2)^(1/k) ; durée B10 : λ × (−ln 0,9)^(1/k).
À x = λ, la probabilité de défaillance vaut toujours 63,2 %, quelle que soit la forme.
Exemple
Des composants de forme 1,5 et d’échelle 1 000 heures :
- à 500 h, F = 1 − e^−(0,5)^1,5 ≈ 29,8 % sont défaillants ; la fiabilité est de 70,2 % ;
- la durée de vie moyenne (MTTF) vaut 1 000 × Γ(1,667) ≈ 903 h ;
- la durée de vie médiane est d’environ 783 h ;
- la durée B10, au bout de laquelle 10 % des pièces ont lâché, est d’environ 223 h.
Interpréter le paramètre de forme
- k < 1 : taux de défaillance décroissant, typique de la mortalité infantile (défauts de jeunesse, rodage).
- k = 1 : taux constant, défaillances aléatoires ; la loi de Weibull devient la loi exponentielle.
- k > 1 : taux croissant, usure et vieillissement. Vers k ≈ 3,5, la loi ressemble à une loi normale.
Ces trois régimes composent la célèbre « courbe en baignoire » de la maintenance.
Usages pratiques
- Fixer un intervalle de maintenance préventive avant que le taux de défaillance ne grimpe.
- Définir une durée de garantie en limitant les retours à un pourcentage donné.
- Comparer deux fournisseurs à partir de leurs paramètres estimés sur des essais d’endurance.
Les paramètres s’estiment à partir de données de défaillance, par exemple sur un papier de Weibull ou par maximum de vraisemblance.