La loi log-normale
Une variable X suit une loi log-normale lorsque son logarithme ln X suit une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ. Elle apparaît chaque fois qu’une grandeur résulte de nombreux effets multiplicatifs : revenus et patrimoines, taille des particules, concentrations de polluants, durées de réparation, cours boursiers dans le modèle de Black-Scholes. Elle est toujours positive et asymétrique vers la droite.
Les formules
- P(X ≤ x) = Φ((ln x − μ) ÷ σ), où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
- Médiane : e^μ.
- Espérance : e^(μ + σ²/2), toujours supérieure à la médiane.
- Mode : e^(μ − σ²).
- Variance : (e^(σ²) − 1) e^(2μ + σ²).
Deux façons de saisir les paramètres
μ et σ sont les paramètres du logarithme, pas de X. Si vous connaissez plutôt la moyenne m et l’écart-type s de X lui-même, choisissez ce mode : le calculateur en déduit σ² = ln(1 + s²/m²) et μ = ln m − σ²/2. Confondre les deux est l’erreur la plus fréquente.
Exemple
μ = 0 et σ = 0,5, pour x = 1,5 :
- z = ln 1,5 ÷ 0,5 ≈ 0,81, d’où P(X ≤ 1,5) ≈ 0,79 ;
- médiane 1, espérance ≈ 1,133, mode ≈ 0,779 ;
- écart-type ≈ 0,604.
Pourquoi la moyenne dépasse la médiane
La longue queue droite tire l’espérance vers le haut. C’est le cas des salaires en France : le salaire moyen dépasse nettement le salaire médian, car quelques très hauts revenus pèsent sur la moyenne. Pour des données log-normales, la médiane et la moyenne géométrique (égale à e^μ) décrivent mieux la valeur « typique » que la moyenne arithmétique.
Estimer les paramètres
À partir d’un échantillon, prenez le logarithme de chaque valeur : μ est la moyenne de ces logarithmes et σ leur écart-type. Un nuage de points aligné sur une droite de Henry en échelle logarithmique confirme l’ajustement.
Intervalle de dispersion
Environ 95 % des valeurs se situent entre e^(μ − 1,96σ) et e^(μ + 1,96σ). Dans l’exemple, entre 0,38 et 2,66 : un intervalle asymétrique autour de la médiane, contrairement à la loi normale.