La loi uniforme continue
Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a ; b] lorsque toutes les valeurs de l’intervalle sont également probables. Sa densité est constante : 1 ÷ (b − a) entre a et b, nulle en dehors. Elle décrit une heure d’arrivée au hasard dans un créneau connu, une erreur d’arrondi entre −0,5 et 0,5 ou un point choisi au hasard sur un segment. C’est aussi le point de départ de la simulation, puisque les générateurs de nombres aléatoires (la touche « Ran# » de la calculatrice, la fonction ALEA du tableur) produisent des valeurs uniformes sur [0 ; 1]. Elle est au programme de terminale, avec la loi exponentielle.
Les formules
- P(X ≤ x) = (x − a) ÷ (b − a) pour x entre a et b (0 en dessous de a, 1 au-dessus de b).
- P(c ≤ X ≤ d) = longueur de l’intersection de [c ; d] avec [a ; b], divisée par (b − a).
- Espérance (a + b) ÷ 2, le milieu de l’intervalle.
- Variance (b − a)² ÷ 12, d’où un écart-type de (b − a) ÷ √12 ≈ 0,289 × (b − a).
- Le centile d’ordre p vaut a + p × (b − a).
Exemple
X suit la loi uniforme sur [0 ; 10] :
- P(X ≤ 3) = 3 ÷ 10 = 0,3 ;
- P(2 ≤ X ≤ 5) = 3 ÷ 10 = 0,3 ;
- la densité vaut 0,1, l’espérance 5, la variance 8,33 et l’écart-type 2,89 ;
- le 90e centile vaut 9.
Lecture concrète : si un bus passe toutes les 10 minutes et que vous arrivez à un instant quelconque, votre attente suit la loi uniforme sur [0 ; 10]. Vous attendez 5 minutes en moyenne, et vous avez 30 % de chances d’attendre 3 minutes ou moins.
Une probabilité est une longueur
Pour la loi uniforme, une probabilité est simplement un rapport de longueurs. La probabilité d’une valeur exacte est nulle ; seuls les intervalles ont une probabilité positive. C’est pourquoi P(X ≤ x) et P(X < x) sont égales.
Usages
- Simulation : toute loi se simule à partir d’une valeur U uniforme sur [0 ; 1] en lui appliquant la réciproque de sa fonction de répartition (méthode d’inversion).
- Erreurs de mesure et d’arrondi : une valeur arrondie à l’unité a une erreur uniforme sur [−0,5 ; 0,5], d’écart-type 1 ÷ √12 ≈ 0,29 unité. En métrologie (évaluation de type B du GUM), une tolérance ±h se traduit ainsi en incertitude-type h ÷ √3.
- Statistique bayésienne : un a priori uniforme n’exprime aucune préférence entre les valeurs d’un intervalle.
Cas discret
Pour un dé équilibré ou un entier tiré au hasard entre 1 et n, la loi est discrète : chaque valeur a la probabilité 1 ÷ n, l’espérance vaut (n + 1) ÷ 2 et la variance (n² − 1) ÷ 12.