Progresiones aritméticas y geométricas
Una sucesión es una lista ordenada de números construida con una regla. Las dos que se estudian en la ESO y el Bachillerato son:
- La progresión aritmética: se suma siempre el mismo número, la diferencia d. Ejemplo: 3, 7, 11, 15… con d = 4.
- La progresión geométrica: se multiplica siempre por el mismo número, la razón r. Ejemplo: 3, 6, 12, 24… con r = 2.
Una progresión aritmética describe un cambio constante, como un alquiler que sube 20 € cada año. Una geométrica describe un cambio porcentual, como el interés compuesto o una población que crece un 1 % al año.
Las fórmulas
La calculadora numera los términos desde a₁. Si tu progresión empieza en a₀, desplaza la posición una unidad.
Progresión aritmética
- Término general: aₙ = a₁ + (n − 1) × d
- Suma de los n primeros términos: Sₙ = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2
Progresión geométrica
- Término general: aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹
- Suma de los n primeros términos: Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r), o n × a₁ si r = 1
- Suma infinita, solo si |r| < 1: S = a₁ ÷ (1 − r)
Ejemplo resuelto: aritmética con a₁ = 3 y d = 4
- Décimo término: 3 + 9 × 4 = 39.
- Suma de los 10 primeros términos: 10 × (3 + 39) ÷ 2 = 210.
- Es el truco que se atribuye al joven Gauss: 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 ÷ 2 = 5050.
Ejemplo resuelto: geométrica con a₁ = 3 y r = 2
- Décimo término: 3 × 2⁹ = 1536.
- Suma de los 10 primeros términos: 3 × (1 − 1024) ÷ (1 − 2) = 3069.
- Con r = 0,5 los términos bajan (3; 1,5; 0,75…) y la suma infinita es 3 ÷ 0,5 = 6.
Términos y sumas (ejemplo aritmético)
| n | aₙ | Sₙ |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 7 | 10 |
| 5 | 19 | 55 |
| 10 | 39 | 210 |
| 20 | 79 | 820 |
| 50 | 199 | 5050 |
Cómo reconocer el tipo de progresión
Calcula las diferencias entre términos consecutivos: si son constantes, es aritmética. Calcula los cocientes: si son constantes, es geométrica. La sucesión 1, 4, 9, 16 no es ni una ni otra: es la de los cuadrados perfectos.
Aplicaciones prácticas
- Ahorro: apartar cada mes 50 € más que el anterior forma una progresión aritmética; el total del año es la suma de 12 términos.
- Intereses e inflación: un valor que sube un 3 % al año sigue una progresión geométrica de razón 1,03.
- Depreciación: un coche que pierde un 15 % al año conserva cada año 0,85 de su valor.
- Decimales periódicos: 0,333… = 0,3 + 0,03 + … es una serie geométrica cuya suma es 0,3 ÷ 0,9 = 1/3.
- La leyenda del ajedrez: un grano de trigo en la primera casilla y el doble en cada siguiente suman 2⁶⁴ − 1 granos, mucho más que toda la cosecha mundial.