À quoi sert le test de Mann-Whitney
Le test de Mann-Whitney, appelé aussi test de la somme des rangs de Wilcoxon, compare deux groupes indépendants sans supposer que les données suivent une loi normale. Il ne travaille pas sur les valeurs elles-mêmes mais sur leurs rangs : on réunit toutes les observations, on les classe et on les numérote de 1 à N. Si un groupe a tendance à prendre de plus grandes valeurs, ses rangs se concentrent en haut du classement. C’est l’alternative habituelle au test t de Student pour des données asymétriques, des notes ordinales (échelle de satisfaction, échelle de douleur EVA) ou de petits échantillons avec des valeurs aberrantes.
Les formules
- U₁ = R₁ − n₁(n₁ + 1) ÷ 2, où R₁ est la somme des rangs du groupe 1.
- U₁ compte les paires (une valeur de chaque groupe) dans lesquelles le groupe 1 l’emporte ; U₂ = n₁n₂ − U₁.
- Sous l’hypothèse nulle, U a pour moyenne n₁n₂ ÷ 2 et pour écart-type √(n₁n₂(n₁ + n₂ + 1) ÷ 12).
- z = (U₁ − moyenne ± 0,5) ÷ écart-type, le 0,5 étant la correction de continuité ; la valeur p est lue sur la loi normale.
Exemple
Le groupe 1 compte 8 valeurs, le groupe 2 en compte 10, et U₁ = 15 :
- U attendu : 8 × 10 ÷ 2 = 40, avec un écart-type de √(80 × 19 ÷ 12) ≈ 11,25 ;
- z = (25 − 0,5) ÷ 11,25 ≈ 2,18 ;
- valeur p bilatérale ≈ 0,029 : significatif au seuil de 5 % ;
- une valeur du groupe 1 ne dépasse une valeur du groupe 2 que dans 18,8 % des paires : le groupe 1 prend plutôt des valeurs plus faibles ; la corrélation bisériale de rang vaut −0,63, un effet important.
Lire la taille d’effet
La corrélation bisériale de rang varie de −1 à 1 : 0 signifie un recouvrement complet, ±1 que toutes les valeurs d’un groupe dépassent toutes celles de l’autre. La « probabilité de supériorité » U₁ ÷ (n₁n₂) est souvent plus parlante : c’est la probabilité qu’un individu tiré au hasard dans le groupe 1 ait une valeur plus élevée qu’un individu du groupe 2.
Conditions et limites
- Les deux groupes sont indépendants ; pour des données appariées, utilisez le test des rangs signés de Wilcoxon.
- Les observations sont au moins ordinales.
- Au sens strict, le test compare les distributions entières ; il ne s’interprète comme une comparaison de médianes que si les deux distributions ont une forme semblable.
- En présence de nombreux ex aequo, l’écart-type doit être corrigé ; la valeur non corrigée utilisée ici est légèrement conservatrice.
- En dessous d’une vingtaine d’observations au total, les tables exactes ou un logiciel (R,
wilcox.test) donnent une valeur p plus juste que l’approximation normale.