À quoi sert le test des rangs signés de Wilcoxon
Le test des rangs signés de Wilcoxon compare deux mesures appariées, par exemple avant et après un traitement, sans supposer que les différences suivent une loi normale. C’est l’alternative non paramétrique au test t apparié. Il sert aussi de test d’une médiane sur un échantillon : on soustrait la médiane théorique de chaque valeur et l’on teste les différences.
Comment il fonctionne
- Calculez la différence de chaque paire et écartez les différences nulles.
- Classez les différences en valeur absolue, de 1 (la plus petite) à n ; les ex aequo reçoivent le rang moyen.
- Additionnez les rangs des différences positives : c’est T⁺. Les rangs des différences négatives donnent T⁻, et T⁺ + T⁻ = n(n + 1) ÷ 2.
En l’absence d’effet systématique, T⁺ doit être proche de la moitié du total.
Les formules
- Moyenne de T⁺ sous l’hypothèse nulle : n(n + 1) ÷ 4.
- Écart-type : √(n(n + 1)(2n + 1) ÷ 24).
- z = (T⁺ − moyenne ± 0,5) ÷ écart-type, avec la correction de continuité, et valeur p par la loi normale.
- Taille d’effet r = |z| ÷ √n.
Exemple
15 différences non nulles, avec T⁺ = 24 :
- T⁻ = 120 − 24 = 96 : les différences négatives dominent ;
- T⁺ attendu : 15 × 16 ÷ 4 = 60, avec un écart-type de √(15 × 16 × 31 ÷ 24) ≈ 17,61 ;
- z = (36 − 0,5) ÷ 17,61 ≈ 2,02 ;
- valeur p bilatérale ≈ 0,044 : significatif au seuil de 5 % ;
- r ≈ 0,53, un effet important.
Pour 15 paires, la table exacte donne une valeur critique de W égale à 25 au seuil de 5 % en bilatéral. W = min(T⁺, T⁻) = 24 ne la dépasse pas : le test exact conclut de la même façon.
Par rapport aux autres tests appariés
- Le test t apparié est plus puissant quand les différences sont à peu près normales.
- Le test des signes n’utilise que le sens de chaque différence. Le test de Wilcoxon tient aussi compte de leur ampleur ; il est donc en général plus puissant, mais il suppose des différences à peu près symétriques autour de leur médiane.
Limites
- Les paires doivent être indépendantes entre elles.
- En dessous d’une vingtaine de différences, vérifiez la valeur critique exacte de W dans une table ou avec un logiciel.
- De nombreux ex aequo en valeur absolue imposent une correction de l’écart-type.