À quoi sert le test exact de Fisher
Le test exact de Fisher compare deux proportions dans un tableau 2 × 2, par exemple le taux de guérison sous traitement et sous placebo, sans recourir à l’approximation pour grands échantillons sur laquelle repose le test du khi-deux. Il calcule la probabilité exacte de chacun des tableaux qui ont les mêmes totaux de lignes et de colonnes que le vôtre, avec la loi hypergéométrique, puis additionne celles des tableaux au moins aussi extrêmes. C’est le test à utiliser dès qu’un effectif théorique est inférieur à 5.
Le calcul de la valeur p
Avec le tableau
| Événement | Pas d’événement | |
|---|---|---|
| Groupe 1 | a | b |
| Groupe 2 | c | d |
et des marges fixées, la probabilité d’une valeur donnée de a vaut
P(a) = C(a + b, a) × C(c + d, c) ÷ C(n, a + c)
- Valeur p bilatérale : somme des probabilités de tous les tableaux qui ne sont pas plus probables que le tableau observé.
- Valeur p unilatérale : somme sur les tableaux au moins aussi extrêmes dans le sens choisi.
Le calculateur énumère exactement tous les tableaux possibles, ce qui reste rapide même pour des totaux de plusieurs milliers.
Exemple
8 patients sur 10 s’améliorent avec un nouveau traitement, contre 3 sur 10 avec le traitement de référence :
- proportions : 80 % et 30 % ;
- rapport de cotes : (8 × 7) ÷ (2 × 3) ≈ 9,3 ; risque relatif ≈ 2,67 ;
- valeur p exacte bilatérale ≈ 0,070 : non significatif au seuil de 5 % ;
- le khi-deux sans correction donnerait p ≈ 0,025 et conclurait à tort à une différence significative : avec des effectifs théoriques de 5,5 et 4,5, l’approximation n’est pas fiable.
L’exemple montre l’intérêt du test de Fisher : sur de petits effectifs, l’approximation du khi-deux peut surestimer les preuves.
Quand l’utiliser
- Petits échantillons, ou effectif théorique inférieur à 5 dans une case.
- Événements rares, comme les effets indésirables d’un essai.
- Chaque fois qu’une réponse exacte est préférable : les logiciels actuels (R,
fisher.test) le rendent praticable même pour de grands tableaux.
Points de vigilance
- Le test de Fisher est conservateur : comme les marges sont fixées, son risque réel de faux positif est souvent inférieur à α. Certains statisticiens lui préfèrent les tests de Barnard ou de Boschloo, plus puissants.
- La valeur p bilatérale n’est pas simplement le double de la valeur unilatérale ; le calculateur applique la méthode usuelle, qui additionne les tableaux de probabilité inférieure ou égale à celle du tableau observé.
- Le rapport de cotes affiché est le rapport simple (a × d) ÷ (b × c). Il devient infini si b ou c est nul ; les logiciels donnent alors une estimation par maximum de vraisemblance conditionnel.
- Pour des tableaux plus grands que 2 × 2, l’extension de Fisher-Freeman-Halton applique la même idée.