Skip to content
Omnikalc

Loi hypergéométrique : tirages sans remise

Calculez la probabilité d'obtenir exactement k, au plus k ou au moins k succès lors de tirages sans remise : cartes, boules de loto ou contrôle qualité.

Mis à jour le
Vos paramètres

Valeur hors limites

Valeur hors limites

Valeur hors limites

Valeur hors limites

Résultats

P(X = k)

29,947 %

P(X ≤ k)

95,832 %

P(X ≥ k)
34,116 %
P(X > k)
4,168 %
Nombre moyen de succès (n × K ÷ N)
0,385

Des tirages sans remise

La loi hypergéométrique donne la probabilité d’obtenir un certain nombre de « succès » lorsqu’on tire un échantillon sans remise dans une population finie. Chaque tirage modifie ce qui reste : les tirages ne sont pas indépendants.

Les paramètres

  • N : taille de la population (52 cartes)
  • K : nombre de succès dans la population (4 as)
  • n : nombre de tirages (5 cartes)
  • k : nombre de succès obtenus (1 as)

La formule

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) ÷ C(N, n)

où C(n, k) est le nombre de combinaisons de k éléments parmi n. Le nombre moyen de succès vaut n × K ÷ N.

Exemple chiffré

Quelle est la probabilité d’avoir exactement un as dans une main de 5 cartes tirées d’un jeu de 52 ?

  1. Choix d’un as parmi 4 : C(4, 1) = 4.
  2. Choix des 4 autres cartes parmi les 48 qui ne sont pas des as : C(48, 4) = 194 580.
  3. Nombre total de mains : C(52, 5) = 2 598 960.
  4. P(X = 1) = 4 × 194 580 ÷ 2 598 960 ≈ 29,95 %.
  5. P(X ≥ 1), au moins un as : ≈ 34,12 %.
  6. Nombre moyen d’as dans une main : 5 × 4 ÷ 52 ≈ 0,38.

Autres usages

  • Loto : 5 numéros tirés parmi 49. La probabilité de trouver exactement 3 bons numéros avec une grille vaut C(5, 3) × C(44, 2) ÷ C(49, 5) ≈ 0,50 % ; celle d’en trouver 5, 1 sur 1 906 884 (sans compter le numéro chance).
  • Contrôle qualité : un lot de 500 pièces en contient 10 défectueuses. Si l’on en contrôle 20, la probabilité de n’en trouver aucune est d’environ 66 %.
  • Jeux de cartes : chances de piocher la carte attendue dans un deck de jeu de cartes à collectionner.
  • Écologie : estimation de populations animales par capture-recapture.
  • Statistique : le test exact de Fisher sur un tableau 2 × 2 repose sur cette loi.

Hypergéométrique ou binomiale ?

La loi binomiale suppose que chaque tirage a la même probabilité, comme avec remise. Quand l’échantillon est petit devant la population, moins de 5 % de celle-ci environ, les deux lois donnent presque le même résultat et l’on utilise la binomiale, plus simple. Quand l’échantillon représente une part importante de la population, la loi hypergéométrique s’impose.

Limite du calculateur

Le nombre de tirages est limité à 30 pour que les probabilités cumulées puissent être additionnées exactement.

Questions fréquentes

Quand utiliser la loi hypergéométrique ?

Pour des tirages sans remise dans une population finie qui contient un nombre connu de succès : cartes dans un jeu, boules dans une urne, pièces défectueuses dans un lot.

Quelle est la formule ?

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) ÷ C(N, n). La probabilité d'avoir exactement un as dans une main de 5 cartes tirées d'un jeu de 52 vaut 4 × 194 580 ÷ 2 598 960 ≈ 29,9 %.

Quelle différence avec la loi binomiale ?

La loi binomiale suppose des tirages indépendants de même probabilité, comme avec remise. Sans remise, la probabilité change après chaque tirage. Quand la population est grande devant l'échantillon, les deux lois donnent des résultats proches.

Et pour le Loto ?

Au Loto, 5 numéros sont tirés parmi 49 : la probabilité de trouver exactement 3 bons numéros avec une grille vaut C(5,3) × C(44,2) ÷ C(49,5), soit environ 0,5 %. Saisissez N = 49, K = 5, n = 5 et k = 3.

Ce calculateur vous a-t-il été utile ?

Merci pour votre avis !

Résultats indicatifs fournis à titre d'information. Ils ne remplacent pas l'avis d'un professionnel.

Calculateurs associés