Changer d’orbite en deux poussées
Un satellite sur une orbite circulaire ne peut pas simplement se diriger vers une orbite plus haute. Pour monter, il faut accélérer en un point afin que le côté opposé de l’orbite s’élève, puis accélérer de nouveau une fois arrivé. En 1925, l’ingénieur allemand Walter Hohmann a montré que, pour deux orbites circulaires dans le même plan, le trajet le plus économe à deux poussées est une ellipse tangente aux deux cercles. C’est toujours le point de départ du calcul des missions.
Les formules
Avec μ le paramètre gravitationnel de l’astre (3,986 × 10¹⁴ m³/s² pour la Terre) et r₁, r₂ les rayons des deux orbites mesurés depuis le centre de l’astre :
- Vitesse sur une orbite circulaire : v = √(μ ÷ r).
- Première poussée : Δv₁ = v₁ × (√(2r₂ ÷ (r₁ + r₂)) − 1).
- Seconde poussée : Δv₂ = v₂ × (1 − √(2r₁ ÷ (r₁ + r₂))).
- Durée du transfert, une demi-ellipse : t = π × √(a³ ÷ μ), avec a = (r₁ + r₂) ÷ 2.
Le calculateur ajoute le rayon de l’astre aux altitudes saisies.
Exemple : de l’orbite basse à l’orbite géostationnaire
D’une orbite circulaire à 400 km jusqu’à l’altitude géostationnaire de 35 786 km :
- Vitesse sur l’orbite initiale : 7,669 km/s. Vitesse sur l’orbite finale : 3,075 km/s.
- Première poussée : 2,397 km/s, au périgée de l’ellipse de transfert.
- Seconde poussée : 1,456 km/s, à l’apogée, pour circulariser.
- Delta-v total : 3,854 km/s.
- Durée du transfert : 5,29 heures.
L’engin finit plus lent sur l’orbite haute, alors que les deux poussées l’ont accéléré : en montant, il échange de la vitesse contre de l’altitude.
Autres transferts autour de la Terre
| Départ | Arrivée | Δv total | Durée |
|---|---|---|---|
| 200 km | Géostationnaire, 35 786 km | 3,93 km/s | 5,3 h |
| 400 km | Altitude GPS, 20 200 km | 3,42 km/s | 3,0 h |
| 400 km | 1 000 km | 0,32 km/s | 0,8 h |
| 400 km | Distance de la Lune | 3,91 km/s | environ 5 jours |
Ce que le modèle néglige
- Le changement de plan : un lancement depuis Cap Canaveral part sur une orbite inclinée d’environ 28,5° sur l’équateur ; annuler cette inclinaison pour un satellite géostationnaire coûte environ 0,36 km/s de plus si on la combine avec la seconde poussée à l’apogée. Depuis le Centre spatial guyanais de Kourou, à 5° de latitude, ce surcoût est bien plus faible, l’un des atouts d’Ariane.
- Les poussées réelles durent plusieurs minutes, pas un instant.
- La gravité des autres astres : pour aller vers la Lune, son attraction modifie l’arrivée, d’où l’usage de coniques raccordées ou de modèles numériques.
Le transfert bi-elliptique
Quand l’orbite finale est plus de 11,9 fois plus grande que l’initiale, un transfert bi-elliptique à trois poussées, qui va au-delà de la cible avant de redescendre, peut consommer moins de delta-v qu’un transfert de Hohmann, au prix d’un voyage bien plus long.