Ce que mesure le moment cinétique
Le moment cinétique, aussi appelé moment angulaire, mesure la quantité de rotation d’un corps. Pour un objet qui tourne autour d’un axe fixe, il vaut
L = I × ω
où I est le moment d’inertie en kg·m² et ω la vitesse angulaire en radians par seconde. Le moment d’inertie dépend de la répartition de la masse autour de l’axe : plus la masse est éloignée, plus I est grand. Pour une masse ponctuelle m à la distance r, I = m r².
La conservation
En l’absence de couple extérieur, le moment cinétique d’un système reste constant. Si le moment d’inertie change, la vitesse de rotation varie en sens inverse :
I₁ ω₁ = I₂ ω₂, donc ω₂ = ω₁ × I₁ / I₂
C’est pourquoi une patineuse accélère sa pirouette en ramenant les bras, et ralentit en les écartant.
Exemple
Une patineuse tourne à 60 tours par minute (6,28 rad/s) bras écartés, avec un moment d’inertie d’environ 3,5 kg·m². En serrant les bras contre le corps, elle le réduit à environ 1,2 kg·m². Son moment cinétique vaut 3,5 × 6,28 = 22,0 kg·m²/s. La nouvelle vitesse est de 60 × 3,5 / 1,2 = 175 tours par minute, presque trois fois plus.
Que devient l’énergie ?
L’énergie cinétique de rotation vaut E = ½ I ω². Dans l’exemple, elle passe d’environ 69 J à environ 202 J. Les 133 J supplémentaires proviennent du travail des muscles qui ramènent les bras vers l’axe, contre leur tendance à s’écarter. Dans l’autre sens, écarter les bras restitue cette énergie.
Exemples du quotidien et de l’Univers
- Plongeon et gymnastique : l’athlète se groupe pour tourner vite et s’ouvre pour ralentir avant l’entrée dans l’eau ou la réception.
- Étoiles à neutrons : quand le cœur d’une étoile s’effondre de centaines de milliers de kilomètres à une dizaine de kilomètres de rayon, sa vitesse de rotation explose et donne un pulsar qui tourne plusieurs fois par seconde.
- Hélicoptère : le rotor de queue fournit le couple qui empêche la cabine de tourner en sens inverse du rotor principal.
- Expérience du tabouret : assis sur une chaise de bureau qui tourne, des haltères dans les mains, ramenez-les vers vous et vous accélérez.
Unités
Le calculateur accepte les vitesses en tours par minute, tours par seconde ou radians par seconde. Un tour vaut 2π radians, donc 1 tr/min = 0,1047 rad/s. Le moment cinétique s’exprime en kg·m²/s, équivalent au joule-seconde. Au lycée, on le relie au théorème du moment cinétique : sa dérivée par rapport au temps est égale au moment des forces extérieures.