Resolver ax² + bx + c = 0 en un instante
Las ecuaciones de segundo grado aparecen en 3.º y 4.º de ESO, en Bachillerato y en muchos problemas de física: el tiro parabólico, la caída de un objeto o la optimización de un área. La calculadora obtiene el discriminante, las soluciones reales o complejas, el vértice de la parábola y comprueba el resultado con la suma y el producto de las raíces.
La fórmula general
Δ = b² − 4ac
- Si Δ > 0, hay dos soluciones reales: x = (−b − √Δ) ÷ 2a y x = (−b + √Δ) ÷ 2a.
- Si Δ = 0, hay una solución doble: x = −b ÷ 2a.
- Si Δ < 0, no hay solución real; las soluciones complejas son −b ÷ 2a ± (√−Δ ÷ 2a) i.
Vértice de la parábola: x = −b ÷ 2a, y su ordenada se obtiene sustituyendo ese valor en la ecuación.
Ejemplo resuelto: 2x² − 4x − 6 = 0
- Coeficientes: a = 2, b = −4, c = −6.
- Discriminante: (−4)² − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64.
- Raíz del discriminante: √64 = 8.
- Soluciones: x₁ = (4 − 8) ÷ 4 = −1 y x₂ = (4 + 8) ÷ 4 = 3.
- Vértice: x = 4 ÷ 4 = 1, y = 2 − 4 − 6 = −8. Como a > 0, es un mínimo.
- Comprobación: suma −1 + 3 = 2 = −b ÷ a, y producto −1 × 3 = −3 = c ÷ a.
El signo del discriminante en la gráfica
| Discriminante | Soluciones reales | La parábola… |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 | corta el eje X en dos puntos |
| Δ = 0 | 1 (doble) | toca el eje X en su vértice |
| Δ < 0 | 0 | no llega a tocar el eje X |
Casos particulares que se resuelven sin fórmula
- Incompleta sin término en x (b = 0): 2x² − 18 = 0 da x² = 9, es decir, x = ±3.
- Incompleta sin término independiente (c = 0): x² − 5x = 0 se factoriza como x(x − 5) = 0, con soluciones 0 y 5.
- Trinomio cuadrado perfecto: x² − 6x + 9 = (x − 3)², con solución doble x = 3.
Errores frecuentes
- Olvidar el signo de b: si b = −4, entonces −b = +4.
- Dividir solo la raíz entre 2a: el denominador afecta a todo el numerador, −b ± √Δ.
- Calcular mal b² cuando b es negativo: (−4)² = 16, no −16.
- Usar la fórmula con a = 0: en ese caso la ecuación es de primer grado, y la calculadora te lo indica.
Si necesitas trabajar con triángulos y distancias, el teorema de Pitágoras te será útil en muchos problemas de este tipo.